数学史“问题化”的教学探讨

方朝玲 周莹

【摘 要】当前教育界对有效发挥数学史教育功能的教学探讨正如火如荼地开展，而对于如何在课堂中开展教育史教学仍处于尝试阶段。文章以“函数的概念”一课为例，重构函数概念的发展史，尝试借助“六何”提问链将数学史融入课堂，发挥数学史的教育功能，进一步完善数学史教学，为后续的研究、改进数学教学提供借鉴。

【关键词】高中数学;数学史;问题化;函数概念

随着时代的发展，将数学史融入课堂教学、发挥数学史的教育功能已经成为我国数学课程改革关注的焦点之一。然而在实际教学中，由于教师缺乏对数学史的认识，造成数学史的教育功能得不到有效发挥[1]。有学者认为，数学史“问题化”教学是数学“史学形态”向“教育形态”转化的方法论创新，是数学文化价值向育人价值转化的内在价值突破，能够促进数学课堂教学内在规律的良性实现[2]。然而，教师如何实施数学史“问题化”教学？怎样提问才能既遵循学生的认知发展规律，又保持思维的连贯性？这些问题并没有现存的答案。鉴于此，本文将以人教版高中数学必修1“函数的概念”一课为例，重构函数概念发展的历程，并结合学生的认知发展规律及思维的连贯性出发提出“六何”提问链——“为何、从何、是何、变何、如何、有何”[3]，以问题为载体，潜移默化地将数学史渗透到数学教学的内容与结构之中，建构基于“问题解决”的数学教学实践。这也许是将数学史融入课堂，实现数学“史学形态”向“教育形态”转化的有效措施。

（一）课例基本背景

函数在中学阶段占据举足轻重的地位，学生深刻理解函数概念是他们后续学习的有效保障。有研究表明，高中生不能深刻理解函數概念的主要原因是，他们不理解高中为何还要重新定义函数，也较少讨论初、高中函数的定义有何根本性的变化，教科书及教师课堂教学均未关注这样的变化，最终导致大部分高中生从应试的角度认识和学习函数[4]186-191。笔者认为，基于数学知识产生的现实背景或教学需要，将数学知识与数学史结合起来，创设合适的教学情境，提出恰当的数学问题，是帮助学生认识数学本质的关键。

因此，本文选取人教版高中数学必修1“函数的概念”一课为例，通过对问题的思考与解决，以及对实例的分析、探究与归纳，抽象出函数的概念，让学生对函数概念获得本质认识，最终运用数学知识解决数学问题。文章旨在让学生从实际问题中发现规律，抽象出函数模型;帮助学生感悟从特殊到一般、数形结合等数学思想，掌握分类讨论、归纳类比等数学方法，发展数学建模、数学抽象等素养;促使学生感受数学在学科领域及生活中的价值与作用，感受数学发展之不易。

（二）教学设计过程

本文将函数概念发展史的重构与“六何”提问链结合起来，从学生的认知水平出发，创设如下问题情境：为什么高中阶段要进一步学习函数？函数从何而来？高中阶段如何定义函数？初、高中阶段对函数的定义有何本质变化？如何学以致用？学后有何感悟或困惑？具体的教学流程如图1所示。

1从数学与现实角度，感知“为什么”和“从哪里来”

问题1 请运用所学知识判断下列各题。

（1）y=1和x=0是否是函数？为什么？

（2）y=x和y=x2x是否是同一个函数？为什么？

问题2 初中阶段是如何定义函数的？你能用它来解决上面的题目吗？

【设计意图】问题1从“为何”出发，提出学生熟悉的、具体的数学问题并引发学生思考，进而基于学生的最近发展区提出问题2，引导他们回顾旧知识并尝试用旧知识解决问题1。此数学情境的设计与数学知识相结合，同学生的认知起点吻合，体现了教学的整体性、连贯性，有助于引起学生的认知冲突，从而激发他们的求知欲、求识欲，同时也使他们从数学角度感受到重新定义函数概念的重要性、必要性与迫切性。

问题3 函数除了能解决数学问题，在现实生活中还有何用途？

【设计意图】从数学知识的起源和现实生活中的应用入手，促进学生感知知识“从何”而来，感受函数在生活中的价值与作用，同时也为学生提供新的理解数学知识的视角——函数最早源于人们对运动轨迹的研究（见图2、图3、图4），是为解决现实问题而诞生的。而今，函数在生活中更普遍地应用在电话收费、购票、心电图等方面。

此问题的提出，一方面能够促使学生了解函数产生和发展的背景，感悟函数的本质是刻画运动与变化的数学模型;另一方面也能够促使学生感受数学概念源于现实问题的基本思想，进一步了解学习函数的必要性。

问题4（核心问题） 随着函数的发展，数学家发现早前（初中）定义的函数已无法解决更复杂的数学问题，而现实生活中的许多现象又与函数息息相关，因此他们产生了重新定义函数概念的想法。那么，新的函数概念怎样定义？它与初中函数概念的定义有何本质区别？如何用它来解决新问题？

【设计意图】数学史所展现的知识脉络有助于教师确定教学重点。学生在明确“为何”学习以及知识“从何”而来后，进一步从“是何”“变何”以及“如何”三个设问角度引出本节课的核心问题，帮助他们明确学习目的，增强学习使命感。

2.以实例为载体，探索“是什么”

实例1（人教版高中数学必修1 P15） 炮弹发射时射高随时间变化情况。

问题5 变量t与变量h存在什么关系？它们之间的关系以什么形式呈现？

问题6 变量t与变量h之间的关系可用t表示h，那么用图象、表格表示的“对应关系”下的两个变量是否也能做到“用其中一个变量表示出另一个变量”？

【设计意图】通过引导学生画出h=130t-5t2在t∈[0，26]时的图象，以及列举出当t=0，1，2，3时h的值，学生能够从形与数两方面感受t与h之间一一对应的关系。同时教师引导他们发现t与h之间的对应关系是通过解析式呈现的，即可以用t表示h，进而通过问题6自然而然引出实例2与实例3。

实例2（人教版高中数学必修1 P15） 南极臭氧层空洞面积随时间变化情况。

实例3（人教版高中数学必修1 P16） 恩格尔系数随时间变化情况。

【设计意图】教师为学生创设以图象和表格呈现函数的情境，引导他们发现臭氧层空洞面积与时间、恩格尔系数与时间之间“一一对应”的关系，并且感悟以上两种情形均无法用其中一个变量表示出另一个变量。遵循空间邻近原则，教师在课件同一页面共同呈现出实例1、实例2、实例3，引导学生发现三个实例的相同点与不同点，进而提出以下问题。

问题7 倘若以图象和表格表示的“对应关系”也能用其中一个变量表示出另一个变量，那么对于以上三种情形中的两个变量，就都找到了用其中一个变量表示出另一个变量的一般方法。这里是否存在这样的“一般方法”？上述三种情形有何共性与特性？“对应关系”是如何产生的？

【设计意图】问题7使三个实例产生了联系，并能够引导学生感知三个实例之间的联系与区别，揭示出它们的共同点（均有两个非空数集，并存在某种对应关系，使两个变量在两个非空数集中是一一对应的关系）和不同点（对应关系分别以解析式、图象、表格呈现），促使学生感知“一般方法”的产生。在实际教学中，教师往往忘记阐述对应关系的来龙去脉，导致学生难以对所学知识进行深入思考。因此，教师追问“对应关系”的产生，并非希望学生能够准确回答，而是试图使他们深入了解函数表示方法的产生与发展，感知数学史在现实教学中的再创造，感悟知识的来龙去脉：函数最早源于人们对运动轨迹的研究。早期研究的函数最先以表格的方式呈现，15世纪后又以图象的方式呈现。由于以表格或图象表示的函数难以参与运算，因此18世纪开始以解析式的方式呈现。在以上研究过程中，教师借助三个典型实例，引导学生分析函数概念的属性，抽象出其共同本質的属性，通过比较、概括、归纳等思维活动，从函数三种特殊的表现形式出发探寻一般函数的表现形式，有助于学生经历、感悟从特殊到一般的数学思想，从而发展数学建模、数学抽象等素养。

问题8 经过以上分析，如果y是x的函数，你认为这两个变量之间必须具备怎样的关系？它们的关系在什么条件下成立？如何表示它们的关系？尝试写出函数的定义。

问题9 “对应关系f ”有何含义或功能？

【设计意图】问题8能够促进学生感知新知“是何”。在问题的驱动下，学生进行独立思考、交流分析、分享感悟、归纳总结函数概念，并通过师生合作，完善概念内涵。教师进一步引导学生聚焦函数定义的关键点：（1）A，B为非空数集;（2）“对应关系f ”可以是表格、图象或解析式;（3）“任意”与“唯一”的含义;（4）允许多对一，反之不可以;（5）y=f（x）的内涵，即y是x的函数;（6）函数不一定是解析式，解析式也不一定是函数（如x=0不是函数）;（7）值域B;（8）函数的三要素包括定义域、值域、对应关系。学生亲历了数学概念的发现、概括、归纳等过程，有助于学习能力的提升。问题9旨在促进学生了解：数集B中唯一确定的与数集A中变量x对应的变量y是对变量x实施“对应关系f ”得到的，即f使x与y对应起来。数学知识的生长不在于记住一个抽象的概念或命题，而在于内化知识。学生通过归纳定义，形成定义的整体认知，在剖析定义要点、关键点的过程中，找出其内涵与外延，加深对函数概念的理解，并逐步形成解决问题的能力。

问题10 函数的定义从诞生至今，已经历了300多年的历史，在此过程中许多数学家都做出了巨大贡献。你知道哪些数学家为函数的发展做了什么贡献（分别见图5、图6、图7）？“函数”一词从何而来？有何深意？

【设计意图】在严谨、抽象的数学学习之余，数学史的融入既可以促进学生感悟函数、理解函数，又可以发散其学习思维，激发他们的学习兴趣。

3对比新旧定义，窥探“怎么变”

问题11 学习了新的函数定义，对比初中函数定义，它们有什么不同？说说你的理解。

【设计意图】相比于概念的形式，概念的实质更重要。此问题主要探讨初、高中概念“变何”。新旧函数概念的变化不仅需要教师熟知概念产生与发展的历史，还需启发、引导学生发现在哪方面发生了变化。

首先，从直观描述上看，初、高中函数定义的出发点不同[4]186-191。初中以变量说描述定义，突出变量关系的表达式（包括图象和表格），无法研究不同表达形式的函数本质，如无法判断f（x）=sin2x+cos2x和g（x）=1是否为同一函数;从历史上看，初中定义的函数几乎等同于解析式，但并非所有函数均有解析式，如狄利克雷函数。函数概念的本质不是表达式，而是对应关系，故高中以对应关系说描述函数定义。

其次，从函数对数学后续发展的影响而言，函数的作用发生了变化[4]186-191。初中函数仅关注变量间的关系，未涉及函数的定义域，比较注重解题;而高中函数开始探讨函数性质。讨论函数性质的实质是研究两个变量间的变化规律，使函数成为描述现实世界的数学语言。

简而言之，问题11能够引导学生发现初、高中函数定义的本质区别，使学生进一步了解高中重新定义函数概念的必要性，加深对函数概念的理解。这既为学生之后的学习奠定了牢固的知识基础，又培养了他们“会用数学语言表达世界”的能力。

4以练习测成果，掌握“如何用”

练习 运用所学知识解决下列各题。

【設计意图】此环节试图突破以巩固学生工具性理解为主的常规练习，进一步促进关系性理解，发展创新性思维，感悟概念及基本方法（由例及类、从特殊到一般等）的应用，学会以数学思维思考问题，同时也是评价学生学习效果的重要方式之一。前三题主要使学生对函数概念的感知从抽象的文字描述过渡到具体的函数表象，使学生从概念的多元表征中实现对知识的整体性认识;第（4）、第（5）题进一步从函数概念的基本特征、函数的三要素等方面，促进学生对概念的本质认识，形成工具性理解;第（6）题在工具性理解的基础上，促使学生感知函数三种表征方式的联系与转化，并在函数的多元表征中完善认知结构，发展关系性理解;第（7）题试图从抽象符号的视角拓展学生对函数的认知，形成知识的系统性、结构性理解，进而产生或建构其他新的概念或问题，实现创新性理解。

5以问题思所学，反思“有什么”

问题12 通过本节课，你学到了什么？函数在生活中的应用还有哪些？为什么要重新定义函数？初、高中函数概念有何不同？理解高中函数概念可以从哪些方面入手？哪些数学家促进了函数概念的发展？你学会判断函数了吗？你还存在哪些困惑？

【设计意图】此问题重在引导学生进行学习反思。弗赖登塔尔指出，反思是数学思维活动的核心和动力，是高层次的创新活动。学生在解决“为何、从何、是何、变何、如何”后，进一步反思“有何”。这既是对所学、所思、所获的一次梳理及查缺补漏的过程，又是学习再吸收、再创造的过程。

好的教学设计应当能够实现两个目标：一是能够引发学生思考、激发学生学习的兴趣，二是能够培养学生良好的学习习惯、掌握有效的学习方法[5]。本课例依据“六何”提问链将数学史融入函数概念的教学，通过环环相扣、层层深入的问题串解决当前学生学习函数概念过程中存在的问题，进而揭示数学本质，激发学生的求知欲、求识欲，增强学习使命感。同时，“六何”提问链为学生设置了系列、连续的思维活动。学生在解决问题的过程中，思维不断向前推进，使学习过程有序、有效。层次清晰的“六何”提问链也使函数概念的建构过程更加关注思维的系统性与逻辑的连贯性，体现了数学核心概念教学的育人价值。因此，“六何”提问链可以为教与学问题的提出提供方向，而融入数学史的“问题化”教学又促进了数学“史学形态”向“教育形态”的转化。

融入数学史的“问题化”教学能促进数学史发挥其教育功能，但仍需我们不断探讨、优化。首先，教师在构建“提问链”的过程中，既需要考虑数学主题与其他主题在知识内容、思想方法、研究视角等方面的联系，又需要考虑主题学习过程中要解决的核心问题及其顺序，进一步结合学生实际构建主干问题链，形成有效互动，驱动学生学习。其次，在“问题化”教学中，数学史的选择既应对数学知识有所诉求，又需蕴含知识产生的思维过程。教师需要深入挖掘蕴藏于数学史背后的数学知识、思想与方法等，提炼出与教学密切相关的数学问题，促进数学史与课堂的深度融合。

参考文献：

[1]蒲淑萍，汪晓勤.数学史怎样融入数学教材：以中、法初中数学教材为例[J].课程·教材·教法，2012（8）：63-68.

[2]孟梦，李铁安.“问题化”：数学“史学形态”转化为“教育形态”的实践路径[J].数学教育学报，2018（3）：72-75.

[3]莫倩华，肖宝莹，周莹.基于“六何”有序结构的高中数学教材对比研究：以人教A版、湘教版《古典概型》为例[C]//全国数学教育研究会.全国数学教育研究会2016年国际学术年会论文集.武汉：全国数学教育研究会，2016：12.

[4]林玉慈，史宁中.高中生对函数的认识与态度[J].东北师大学报（哲学社会科学版），2018（3）：186-191.

[5]史宁中，濮安山.中学数学课程与教学中的函数及其思想：数学教育热点问题系列访谈录之三[J].课程·教材·教法，2007（4）：36-40.