由“333667”引起的关于规律和方法的思考

张绪续

【摘要】：文章由等式及等式的因子引入，从算数基本定理进行分析，梳理出333667和10101以及一些固定位数循环数之间的关系，并总结成公式，得出结论。

【关键词】：规律 方法 思考

一、问题引入

我们首先来看一组有趣的等式

528528528=2^4*3^2*11*333667

194194194=2*3*97*333667

552552552=2^3*3^2*23*333667

666666666=2*3^3*37*333667

不难发现，这些由循环数字组成的九位数都有一个共同的因子“333667”，而且这个因子的存在与循环节中的数字是否重复无关，这就引起了我探索缘由和同类拓展的兴趣。

二、问题分析

其实上述四个式子只是任意的举例，其一般形式可以表述为：任意一个三位数循环三次组成一个九位数，将其分解质因数，一定存在一个质因数是“333667”。（称之为假设1）首先从原理角度看，此式的实现有赖于算数基本定理，即任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1 P2a2…Pnan，這里P1<P2…<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。由算数基本定理，我们可以确定上述等式的合理性与唯一性，但仍缺乏推广到一般情况（即证明假设1成立）的条件。单从这个问题看，找到证明它的方法似乎很困难，所以我们先来分析一个简化版的问题，以期找到假设1的解决办法。

我们仍然从一些例子入手

37373737=37*73*101*137

55555555=5*11*73*101*137

70707070=2*5*7*73*101*137

这是一个两位数构成的循环节循环四次的问题，在这里我们可以明显的发现，每个数都有“73”“101”“137”这三个相同的因子，这与“333667”的发现本质上是相同的。但之所以称它为简化版，是因为这些数除了相同的三个质因子之外，剩余的质因子的乘积就是循环节本身！我们自然地想到，“73*101*137”就等于原数字除以循环节，也就是“1010101”。正是由于这个数字的存在，解释了上式的规律性结果：两位数为循环节，决定了基本单位是10;循环四次，决定了由4个1组成。由此增加循环次数，以“101010101”为基准，也可以构建上述等式，只不过会被41*271*9091这样看似繁杂的质因数“掩盖”起来。

在经历了这个简化版问题的分析后，我们的思路变得明朗起来。既然可以增加循环的次数，那么可不可以改变循环节呢？这样是不是就能找到解决假设1的办法了呢？既然是三位数的三次循环，我们就可以自然的想到基准数“1001001”，我们惊奇的发现它就是“333667”的3倍。这就使这个问题的结论和困扰我们的原因浮现了出来：我们忽略了三位数三次循环的另一个公共质因数3，而过多的被“333667”这样一个奇怪的质数吸引了注意;又由于三位数的可分解性比两位数强很多，所以我们并不能显然的观察出前面质因数的乘积就是循环节本身，而这样通过528*1001001=528528528就可以将问题显然的表示出来了。

于是我们发现，分解质因数原来只是一种更细化的形式，甚至还在一定程度上影响了结论的清晰性，像“333667”这样大的质数，其实就是“1001001”这样可以构成规律性循环的数的一个因子。

三、得出结论

任意一个n位数循环m次组成一个（m*n）位数，都可以分解成这个n位数与100…100…1（即为一个n位的100…循环（m-1）次再在末尾增添一位1的（nm-n+1）位数）的乘积。

这个结论的证明由乘法的规律十分显然，困难之处在于发现结论找到原因的过程。

四、总结与反思

在证明假设1的过程中，由于“333667”这一质数实在过于显眼，我于是尝试了很多数论和代数方法，想要证明或是将其与循环数联系起来，但努力未果。事实证明，最后的结论也实在与质数的性质无关，就像第二部分问题分析中强调的那样。我们完全可以像第三部分中的结论那样直接地看待这个问题，但由分解质因数的角度切入，既将问题延伸了一个维度，又拓宽了思维的空间与方式，还为规律的进一步探索提供了可能，甚至我所采用的数论方法也能起到一个很好的方法指导和能力提升作用。这就让我想到，解决数学问题应该多一些深入全面的思考，而不是以做题为目的和唯答案论，一些有益的尝试并不是无用功，而是由量变到质变的积累。

另外我从中还获得了一种解决问题的办法，如同我分析问题过程中提到的先寻找简化版问题的规律一样。学会由简单问题切入，用同样的方法进行类比推测，来发掘复杂问题的隐含信息，就像三位数三次循环共有的质因子3。如果我们有着强大的观察能力，发现两个共同质因子“3”和“333667”并计算它们的乘积是“1001001”，再通过联想推理得到一般的规律也未尝不可，但这样的观察就不如由简到难来得顺畅和显然。

主要成绩：2017年鄂尔多斯市三好学生、2018年鄂尔多斯市第一中学优秀团员、2018年度鄂尔多斯市优秀团员、业余钢琴十级

主要爱好：读书思考、体育运动、演讲诵读、探索研究