陀螺原理及在工程技术领域中的应用研究

李静瑜

摘 要：角动量守恒在现代技术有着非常广泛的应用。例如直升飞机在未发动前总角动量为零，发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避免这种情况，人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的尾翼，由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。与此类似，鱼雷都采用左右两个沿反方飞机、导弹或宇宙飞船上的回旋仪（也称“陀螺”，由苍蝇后翅（特化为平衡棒）仿生得来。）的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。本文探讨陀螺的回旋效应（gyroscopic effect）以及此效应在现代工程技术等领域中广泛使用。

关键词：角动量守恒；陀螺仪；回旋效应

1 引言

陀螺（top）既是绕一个支点高速转动的刚体（rigid body）。日常生活中人们常说的陀螺我们缺省为对称陀螺，既为质量均匀分布的、具有轴对称形状的刚体，其几何对称轴就是它的自转轴。在一定的初始条件和一定的外在力矩作用下，陀螺会在不停自转的同时，还绕着另一个固定的转轴不停地旋转，这就是陀螺的旋進（precession），又称为回转效应（gyroscopic effect）。

2 陀螺的原理

一个固定了旋心并倾斜旋转的陀螺受到两个旋矩的作用，一个是重力旋矩，另一个是使陀螺旋转与水平面平行的旋矩，在这两个旋矩的作用下又产生了绕心进动的旋矩。在这里旋矩等于向心加速度乘以旋臂。

因为重力旋矩和让陀螺旋转的旋矩都是向心作用的，但它们的作用方向却成90度角的同心垂直交叉作用。可以建矢量坐标来表示重力旋矩和与水平面平行的旋矩的大小，垂直方向的为重力旋矩，与水平面平行的为陀螺旋转的旋矩。

当使陀螺旋转的旋矩等于陀螺固定的最大重力旋矩时，它们的向心作用点就会在同一点上，这时陀螺的旋转就会形成以陀螺旋转的旋矩大小为半径的扩大了的球形旋转，而按球形球面的任意一点到球心的向心旋矩是相等的来分析，实际上旋矩的作用就是平衡了重力旋矩的作用而使陀螺竖立不倒。还有重力旋矩的作用中心是始终指向球心的，不管以旋矩形成的球形有多大，就会有以这球形半径的大小为力臂而形成的重力旋矩。

而当陀螺旋转的旋矩小于固定了旋心的陀螺重力旋矩时，它们的向心作用点就不在同一点上，此时陀螺脚到陀螺旋心的重力旋矩就会倒下直到和旋转的旋矩平衡相等并同心垂直交叉为止，即重新形成以这陀螺旋矩大小一样的重力旋矩和以这旋矩为半径的球形旋转，同时也形成了以陀螺脚为周转中心的绕心旋矩，这就是陀螺为什斜着旋转不会倒下的原理。

3 物理推导

一个圆环陀螺，定点在质心，自转角速度为ω，转动惯量为J，施加一个力偶距M使其处于规则进动，现推导其进动角速度Ω。

取圆环上相对竖直轴角位移为θ的某质点P来分析。

我们将规则进动的陀螺看作一个转动参考系，仅考虑P受到的垂直于盘面的加速度，可求出为：

a=2Ω×V=2Ω×（R×ω）×sin（θ+Pi/2）=2Ω×R×ω×cos（θ） （1）

设P对轴的角加速度为α，由角加速度与加速度的关系：

α=a/（R×cos（θ））

代入（1）得：

α=2Ω×ω （2）

由此可见，圆环上各质点对轴的角加速度与质点位置θ无关，所以圆环对轴具有统一的角加速度，于是可使用刚体转动定理：

α=M/I，I为圆环对轴的转动惯量，易知I=J/2，代入（2）得：

2Ω×ω=M/（J/2）

Ω=M/（Jω）

定性分析如下：

边缘上质点随圆盘在自转，并在线加速度作用下，出现如下运动

余弦形式的加速度导致质点正弦变化的线速度，二者方向时刻相同，并垂直于盘面边缘（圆环）所有对称质点都在以此规律运动，因此该圆环在两“竖直”力的作用下，将会出现水平翻转，这就是“进动”并且不会出现转动，也就是空间位置不变，这就是“稳定性”，也就是“不倒”

4 陀螺的实际应用

陀螺仪是一种既古老而又很有生命力的仪器，从第一台真正实用的陀螺仪器问世以来已有大半个世纪，但直到现也，陀螺仪仍在吸引着人们对它进行研究，这是由于它本身具有的特性所决定的。陀螺仪最主要的基本特性是它的稳定性和进动性。人们从儿童玩的地陀螺中早就发现高速旋转的陀螺可以竖直不倒而保持与地面垂直，这就反映了陀螺的稳定性。研究陀螺仪运动特性的理论是绕定点运动刚体动力学的一个分支，它以物体的惯性为基础，研究旋转物体的动力学特性。

陀螺仪器最早是用于航海导航，但随着科学技术的发展，它在其他工程技术领域中也得到广泛的应用。陀螺仪器不仅可以作为指示仪表，而更重要的是它可以作为自动控制系统中的一个敏感元件，即可作为信号传感器。根据需要，陀螺仪器能提供准确的方位、水平、位置、速度和加速度等信号，以便驾驶员或用自动导航仪来控制飞机、舰船或航天飞机等航行体按一定的航线飞行，而在导弹、卫星运载器或空间探测火箭等航行体的制导中，则直接利用这些信号完成航行体的姿态控制和轨道控制。作为稳定器，陀螺仪器能使列车在单轨上行驶，能减小船舶在风浪中的摇摆，能使安装在飞机或卫星上的照相机相对地面稳定等等。作为精密测试仪器，陀螺仪器能够为地面设施、矿山隧道、地下铁路、石油钻探以及导弹发射井等提供准确的方位基准。由此可见，陀螺仪器的应用范围是相当广泛的，它在现代化的国防建设和国民经济建设中均占重要的地位。

4.1、陀螺工作站的原理

高速旋转的物体的旋转轴，对于改变其方向的外力作用有趋向于铅直方向的倾向。而且，旋转物体在横向倾斜时，重力会向增加倾斜的方向作用，而轴则向垂直方向运动，就产生了摇头的运动（岁差运动）。当陀螺经纬仪的陀螺旋转轴以水平轴旋转时，由于地球的旋转而受到铅直方向旋转力，陀螺的旋转体向水平面内的子午线方向产生岁差运动。当轴平行于子午线而静止时可加以应用。

4.2、陀螺工作站的构造

陀螺经纬仪的陀螺装置由陀螺部分和电源部分组成。此陀螺装置与全站仪结合而成。陀螺本体在装置内用丝线吊起使旋转轴处于水平。当陀螺旋转时，由于地球的自转，旋转轴在水平面内以真北为中心产生缓慢的岁差运动。旋转轴的方向由装置外的目镜可以进行观测，陀螺指针的振动中心方向指向真北。利用陀螺经纬仪的真北测定方法有“追尾测定”和“时间测定”等。

4.2.1追尾测定[反转法]

利用全站仪的水平微动螺丝对陀螺经纬仪显示岁差运动的刻度盘进行追尾。在震动方向反转的点上（此时运动停止）读取水平角。如此继续测定之，求得其平均震动的中心角。用此方法进行20分钟的观测可以求得+/-0。5分的真北方向。

4.2.2时间测定[通过法]

用追尾测定观测真北方向后，陀螺经纬仪指向了真北方向，其指针由于岁差运动而左右摆动。用全站仪的水平微动螺丝对指针的摆动进行追尾，当指针通过0点时反复记录水平角，可以提高时间测定的精度，并以+/-20秒的精度求得真北方向。

5 陀螺仪应用实例

5.1 隧道中心线测量

在隧道等挖掘工程中，坑内的中心线测量一般采用难以保证精度的長距离导线。特别是进行盾构挖掘（shield tunnel）的情况，从立坑的短基准中心线出发必须有很高的测角精度和移站精度，测量中还要经常进行地面和地下的对应检查，以确保测量的精度。特别是在密集的城市地区，不可能进行过多的检测作业而遇到困难。如果使用陀螺经纬仪可以得到绝对高精度的方位基准，而且可减少耗费很高的检测作业（检查点最少），是一种效率很高的中心线测量方法。

5.2 日影计算所需的真北测定

在城市或近郊地区对高层建筑有日照或日影条件的高度限制。在建筑申请时，要附加日影图。此日影图是指，在冬至的真太阳时的8点到16点为基准，进行为了计算、图面绘制所需要的高精度真北方向测定。使用陀螺经纬仪测量可以获得不受天气、时间影响的真北测量。

参考文献

[1]拉普拉斯.相对论.中国科学出版社.2018.11

[2]遆珠江.与陀螺对话.中国科学.2017.12.30

[3]程刚.陀螺在工程林谷的应用研究.中国科学出版社.2017.6