如何在概念课教学中落实数学抽象

胡志红 杨会涛

2018年12月，邢台市高中数学优质课比赛在邢台市第五中学举行，优质课的主题是：“如何把数学核心素养落实到课堂”，其中有一个指定题目是人教A版选修1-1中的《变化率问题》，本节课的基本思路如下：

1.问题情境：（1）从吹气球问题出发抽象出平均膨胀率的概念;（2）从高台跳水问题出发抽象出平均速度的概念;（这两个过程都体现了数学抽象的素养）

2.归纳定义：通过比较平均膨胀率和平均速度的表达式，二次抽象出平均变化率的概念。（这个过程又一次体现了数学抽象的素养）

3.几何意义：引导学生直观想象出平均变化率的几何意义。（这个过程又一次体现了直观想象的素养）

4.简单应用：利用平均变化率研究两个实际问题---排污量的平均变化率和体温的平均变化率;（这个过程又一次体现了数学建模的素养），最后给出一个探究问题：在高台跳水时，求运动员在这一时间段的平均速度，这个问题为下节课的瞬时变化率做铺垫。（这个过程又一次体现了数学运算的素养）。

综观整个概念课的教学过程，本节课的难点是：如何引导学生抽象出“平均膨胀率”的概念。这个难点的突破也为我们研究在课堂中落实“数学抽象”这一核心素养提供了最好的载体。数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。2017版课程标准指出“通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁;运用数学抽象的思维方式思考并解决问题。”

在听课过程中，教师甲和教师乙采用了不同的方案从吹气球这一现实情境中抽象出数学概念。

我们先看教师甲的方案：

师：我们在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢吗？

（为了解决这个问题，设计了如下的探究问题。）

探究一：这里涉及的两个变量分别是什么？

探究二：两变量间的关系可以用什么样的表达式来体现？

探究三：根据以上表达式，计算出当气球內空气体积V分别为1L、2L、3L、4L时，相应的气球半径是多少dm？

探究四：“随着气球体积的增大，气球的半径增加得越来越慢”该怎样理解？

探究五：气球体积从1L-2L和从2L-4L这两个过程，哪一个过程半径增加得比较慢？

探究六：平均每增加1L气体，半径的增加量（平均膨胀率）=？

探究七：当气球内空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是什么？

教师甲在落实数学抽象这一核心素养这一过程中使用数据来引导学生理解“随着气球体积的增大，气球的半径增加得越来越慢”这一句话，在学生理解这一句话的同时，顺其自然的诞生了“平均膨胀率”这一重要的概念。

我们再看教师乙的方案：

师：探究一：“小明2015年身高是140cm，2018年身高是155cm;小丽2016年身高是140cm，2018年身高是152;这两名同学谁长的更快呢？有的同学说，小明155-140=15，小丽：152-140=12，15>12，所以小明比小丽长得快，答案对吗？为什么？”

探究二：“在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”，从数学的角度，如何描述这种现象呢？

探究三：这里涉及的两个变量分别是什么？两变量间的关系可以用什么样的表达式来体现？

探究四：“气球的半径增加得越来越慢”的意思是“随着气球体积的增大，当气球体积增加量相同时，相应半径的增加量越来越小，根据探究一从数学角度进行描述就是：随着气球体积的增大比值越来越小？这个比值就是平均膨胀率。”

探究五：根据以上表达式，计算气球体积从0L-1L，1L-2L，2L-2.5L以及2.5L-4L的平均膨胀率？

教师乙为了落实数学抽象素养从学生初中学过的简单问题入手，让同学们经过探究，比较轻松地理解“平均膨胀率”的概念。

章建跃博士提出：“好的开头是成功的一半，情景的引入对后续的学习有重要的作用，问题情境的创设一定要遵循‘在学生思维最近发展区内提问’”。这两位老师都对问题情境的创设进行了精心的设计，使学生通过这一节课的学习，能在情境中抽象出数学概念，积累从具体到抽象的活动经验。

（本文为河北省教育科学研究“十三五”规划课题《高中数学核心素养在高中数学课堂教学中的实施行动研究》（课题编号：1604350）的研究成果。）

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验版）[M].北京：人民教育出版社，2003.