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构造函数法在高考压轴题中的应用

2019-09-10苏学英

科学导报·学术 2019年8期
关键词:压轴零点单调

苏学英

函数是高中代数内容的主干和核心内容,函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括、提炼,就是用函数与变量去思考问题,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造新的函数,再利用函数的图像或性质去分析问题,转化问题,从而使问题得到解决,其关键是构造函数,是考生再创造能力和化归转化能力的体现,因此,构造函数在压轴题的考查中几乎年年都出现。

一.如何构造函数 ?

构造函数的目的是为了通过研究构造函数的单调性得到最值,从而达到证明不等式或求最值的目的。

而通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负,因此,构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估

二.构造函数后分类讨论的依据是什么?

1、导函数零点的存在性

2、导函数零点大小的不确定性

3、函数最值问题取得的可能性

4、导函数零点分布的不确定性

,新课标全国卷压轴题很多题均可用构造函数的方法来解答,下面我们分享一些解法:

类型一 直接作差构造函数

例1(2015新课标Ⅱ卷21)设函数 .

(1)证明: 在 单调递减,在 单调递增;

(2)若对于任意 ,都有 ,

求 的取值范围.

思路:(2) 恒成立,等价于 .由(1)可得最小值为

,最大值可能是 ,故需 ,即 .

构造函数 ,可得 的单调性及 ,进而得m的范围.

例2(2013新课标Ⅰ卷21)已知函数 = , = ,若曲线 和曲线 都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线

(Ⅰ)求 的值

(Ⅱ)若 ≥-2时, ≤ ,求 的取值范围。

思路:(Ⅱ)作差法构造函数

设函数 ,

,有题设可得 ≥0,即 ,

令 =0得, =-2,

此时,类比二次函数根的分布进行分类讨论解答,得 的取值范围为[1, ].

例3(2012新课标Ⅰ卷21)已知函数 满足 ;

(1)求 的解析式及单调区间;(2)若 ,求 的最大值

思路:(2)因为 ,令 ,得

①当 时, 在 上单调递增

时, 与 矛盾

②当 时,

得:当 时,

令 ;则

当 时,

当 时, 的最大值为

类型二 间接构造函数

有些题如果利用类型一直接作差构造函数很难达到目的,就需要对函数适当变形(分离指、对函数构造函数、放缩、控元构造函数)巧妙构造一个函数,达到化解难点的目的。

例4:(2014新课标Ⅰ卷)设函数 ,曲线 在

点(1, )处的切线为 .(1)求 ;(2)证明:

思路:采用分离指对函数的构造法,如果直接采用原函数 的最小值 ,这需要求出导函数 的零点,无法求解。容易看出,导函数零点求解运算的难点在于遇到了 与 这两个式子,为化解这个难点,实施 与 、的分离,从而转化成不等式 证明

例5.(2016全国Ⅱ文)已知函数 .

(I)当 时,求曲线 在 处的切线方程;

(Ⅱ)若当 时, ,求 的取值范围.

思路:若对 直接求导,导函数的正負很难去判断,需多次求导。按如下方法巧妙拆分就比较容易:当 时, 若等价于 ,令 得之。

说明:例5.例6采用了分离指、对函数构造函数。

例6:(2013新课标Ⅱ卷)已知函数

(1)设 为 的极值点,求 并讨论 单调性;

(2)当 时,证明

思路:如果不加思考直接用作差法构造函数 ,则会无法求解 ,问题出在含参,因此应该控元,放缩到函数 的最值求解中,结合二次求导和零点存在定理估算出 的根 ,从而求得 。

说明:本题采用放缩、控元构造了新的函数。

例7:(2013新课标Ⅰ卷21)如上例2换个角度

思路:即证明: 恒成立。构造函数 ,则即证 恒成立。得 根据导数的正负讨论单调性求得最值,

相比作差法构造函数分类讨论的方法,达到了事半功倍的效果

说明:此题采用分离参数后构造新函数.

高考压轴题中构造函数法可谓是比比皆是,除了压轴大题,我们也要关注12题。所以在训练中要引导学生丢掉恐惧心,大胆细致分析,这些题一般都有规律可循,相信天道酬勤。

(作者单位:宝鸡中学)

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