构造函数法在高考压轴题中的应用

苏学英

函数是高中代数内容的主干和核心内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括、提炼，就是用函数与变量去思考问题，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造新的函数，再利用函数的图像或性质去分析问题，转化问题，从而使问题得到解决，其关键是构造函数，是考生再创造能力和化归转化能力的体现，因此，构造函数在压轴题的考查中几乎年年都出现。

一.如何构造函数 ？

构造函数的目的是为了通过研究构造函数的单调性得到最值，从而达到证明不等式或求最值的目的。

而通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负，因此，构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估

二.构造函数后分类讨论的依据是什么？

1、导函数零点的存在性

2、导函数零点大小的不确定性

3、函数最值问题取得的可能性

4、导函数零点分布的不确定性

，新课标全国卷压轴题很多题均可用构造函数的方法来解答，下面我们分享一些解法：

类型一 直接作差构造函数

例1（2015新课标Ⅱ卷21）设函数 .

（1）证明： 在 单调递减，在 单调递增；

（2）若对于任意 ，都有 ，

求 的取值范围.

思路：（2） 恒成立，等价于 .由（1）可得最小值为

，最大值可能是 ，故需 ，即 .

构造函数 ，可得 的单调性及 ，进而得m的范围.

例2（2013新课标Ⅰ卷21）已知函数 = ， = ，若曲线 和曲线 都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线

（Ⅰ）求 的值

（Ⅱ）若 ≥-2时， ≤ ，求 的取值范围。

思路：（Ⅱ）作差法构造函数

设函数 ，

，有题设可得 ≥0，即 ，

令 =0得， =-2，

此时，类比二次函数根的分布进行分类讨论解答，得 的取值范围为[1， ].

例3（2012新课标Ⅰ卷21）已知函数 满足 ；

（1）求 的解析式及单调区间；（2）若 ，求 的最大值

思路：（2）因为 ，令 ，得

①当 时， 在 上单调递增

时， 与 矛盾

②当 时，

得：当 时，

令 ；则

当 时，

当 时， 的最大值为

类型二 间接构造函数

有些题如果利用类型一直接作差构造函数很难达到目的，就需要对函数适当变形（分离指、对函数构造函数、放缩、控元构造函数）巧妙构造一个函数，达到化解难点的目的。

例4：（2014新课标Ⅰ卷）设函数 ，曲线 在

点（1， ）处的切线为 .（1）求 ；（2）证明：

思路：采用分离指对函数的构造法，如果直接采用原函数 的最小值 ，这需要求出导函数 的零点，无法求解。容易看出，导函数零点求解运算的难点在于遇到了 与 这两个式子，为化解这个难点，实施 与 、的分离，从而转化成不等式 证明

例5.（2016全国Ⅱ文）已知函数 .

（I）当 时，求曲线 在 处的切线方程；

（Ⅱ）若当 时， ，求 的取值范围.

思路：若对 直接求导，导函数的正負很难去判断，需多次求导。按如下方法巧妙拆分就比较容易：当 时， 若等价于 ，令 得之。

说明：例5.例6采用了分离指、对函数构造函数。

例6：（2013新课标Ⅱ卷）已知函数

（1）设 为 的极值点，求 并讨论 单调性；

（2）当 时，证明

思路：如果不加思考直接用作差法构造函数 ，则会无法求解 ，问题出在含参，因此应该控元，放缩到函数 的最值求解中，结合二次求导和零点存在定理估算出 的根 ，从而求得 。

说明：本题采用放缩、控元构造了新的函数。

例7：（2013新课标Ⅰ卷21）如上例2换个角度

思路：即证明： 恒成立。构造函数 ，则即证 恒成立。得 根据导数的正负讨论单调性求得最值，

相比作差法构造函数分类讨论的方法，达到了事半功倍的效果

说明：此题采用分离参数后构造新函数.

高考压轴题中构造函数法可谓是比比皆是，除了压轴大题，我们也要关注12题。所以在训练中要引导学生丢掉恐惧心，大胆细致分析，这些题一般都有规律可循，相信天道酬勤。

（作者单位：宝鸡中学）