基于核心素养下高三复习课的探究性教学

马明霞

众所周知，近几年高考正在由能力立意向核心素养导向转变，如何在高三复习课中落实核心素养？这就要改变课堂的教学方法与学生的学习方式，凸显学生的主体地位。而高三数学复习的一贯模式只会让学生处于题海之战的疲惫状态，久而久之，一些学生对数学失去兴趣，更谈不上核心素养的提升与落实。究其因，题型杂而无形，方法零散不能融会贯通。面对这一现状，笔者在一次复习课上，作了如下探究性教学尝试。

问题：已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上两动点，且 ，过 两点分别作抛物线的切线，设交点为 。

（1）证明： 为定值；（2）略。

1.问题的分析与求解

圆锥曲线问题是每年高考必考内容，又是学生复习的难点，题目一给出，学生开始画图分析，试图尽快得出答案。思考之后，初步探索出解题思路。

生1：可先特殊化，当 时， ，得 =0.实质是证明 =0.

师：由特殊向一般过渡，这种分析问题的思路很好，关键如何做一般性证明？

同学们都纷纷演算，片刻后。

生2：设出 两点坐标，由 ，用 可表示 两点坐标关系（思索），想办法求出 点坐标，利用数量积证明。

师：那你怎样求出 点坐标？

生2：设抛物线两切线方程并联立，求 点坐标。

教室内展开激烈讨论。

生3：设切线方程还得求斜率，由 知 是一个二次函数，利用导数法求曲线上点 处切线斜率，从而写切线方程，联立两切线方程求 点坐标。

师：生3分析的很好，请这位同学上黑板板书过程。

生3：证明：由题意 设 ，由 得，

，

將（1）式两边平方并把 代入得：

解（2），（3）式得： ，且有： 。

抛物线方程为 ， ，

所以过 两点的抛物线的切线方程分别为：

，

联立求解得 点坐标为 ，

=（ ，

故 =0.

生4：老师，我由 看出 共线，这样可设过焦点的直线方程求解 坐标关系。

师：生4说的对，可以抛开 来证明 =0.

生4：由 知 共线，设过焦点 的直线方程为：

由 ，设 ，则 。

求 点坐标与生3相同，即 ，以下证明与生3同。

师：这位同学分析很精彩，将直线与圆锥曲线的常规解法引用进来，韦达定理用的很巧妙。

生5：老师生4解答不完整，对直线斜率不存在的情形未分析。

我结合学生的讨论，对解题中的细节做了重点强调，并指出同学们易忽视的问题。接着针对

这道题的求解提出如下问题：

（1）根据本题，对抛物线 ，两切线交点 的坐标是？点 的位置？

（2）直线 与 的位置关系如何？

（3）探究 是否为定值？

（4）此问题结论是什么？对其他形式的抛物线成立吗？

在学生自主探究，讨论反思的基础上，得到答案。

生6：（1）点 的坐标是 ，点 在抛物线的准线上；

（2）由上述解题易证 ；（略）

（3）在上面题目中， =-3，对抛物线 ， ；

（4）结论：过抛物线 焦点 的直线交抛物线于 两点，过 两点作抛物线的切线，两切线相交于点 ，则：

①点 在准线上；② =0.；③ ；④ ；⑤结论对其他形式抛物线也成立。

师：总结很到位，在高三复习中就应该象这样去分析每一道试题，才有收获。我趁机提出本节课复习的一个知识点――――抛物线焦点弦的性质。

2.抛物线焦点弦性质探究

2.1提出问题串，创设学习情景

设 是抛物线 的焦点弦，且 ，

问题1 ？， ？

问题2 弦长 =？，若已知直线 的倾斜角为 ，则弦长 =？

问题3 三角形 的面积怎样表示？

问题4 能否为定值？

问题5 以弦 为直径的圆与准线的位置关系是怎样的？

问题6 以焦半径 或 为直径的圆与 轴的位置关系怎样？

问题7 记 两点在准线上的身影为 两点，则

问题8 以 为直径的圆与弦 的切点是？

对于这些问题，学生热情很高，在前面问题解答的基础上，有些学生化一般为特殊，有些学生设方程联立，有些学生用几何方法，同学们相互讨论，相互交流，自主探究，逐步形成了自己的思维方法，提高了分析问题和解决问题的能力。

2.2反思结论，归纳总结

在学生探索证明的基础上，我叫个别学生讲述了证明思路（略）并总结抛物线焦点弦性质。

生7：性质：（1） ， ；

（2） 为直线 的倾斜角）；

（3） （ 为直线 的倾斜角）；

（4） 为定值 ；

（5）以弦 为直径的圆与准线相切；

（6）以焦半径 或 为直径的圆与 轴相切；

（7） ；

（8）以 为直径的圆切 于点 。

从一道高考试题笔者引导学生探讨了与抛物线焦点弦有关的问题，作为复习，时间有限，到此已经很完美了，可学生问题又来了。

生8：把上面题中抛物线换成椭圆，两切线的交点 好像也在准线上，且 =0，是不是这个结论对三种圆锥曲线都成立呢？

师：既然有同学把这个问题提出来，咱们一起探究吧。

3.拓展延伸

师：我们以椭圆为例证明，设椭圆 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 两点，过 两点分别作椭圆的切线，设交点为 。试证：点 在准线上，且 =0。

生9：结论成立，但抛物线方程 表示函数，可用导数法求切线斜率，而椭圆 表示的不是函数关系，这类问题以前没见过，太难不会证啊。

一些同学陷入了深深的思考中，一些同学想通过直线与椭圆相切的条件化简，但半途而废。

师：能不能将方程 变成函数关系？

生3：可以，依然用抛物线中的方法研究，就是运算量大些（部分学生有一定的类比迁移能力，但还需要引导与培养）。

在生3的提示下，同学们开始挥笔运算了，个别学生还在钻研自已的方法，几分钟后，生5上黑板证明。

生5：证明：由 ，

当 时， ，① ，

当 时， ，② ，

不妨设 ，则过 两点的椭圆的切线方程分别为：

，即 ；

，即 。

联立两方程解得： ，③

运算到此，生5顿感式子很繁琐，看不出结果，有些丧气，看到学生能有如此运算能力，我很欣慰，及时给予鼓励，同时，生3给他帮助。

生3：由 共线得， ，有 ，④

將①②④式代入③作如下转化：

，

（教室掌声四起，生3的这种灵活转化，使得点 的位置关系一目了然。）

点在右准线上。

，

。命题得证。

师：这道题的解答充分展示了我们同学有能力学好解析几何，也表现出同学们强有力的分析解决问题，探究问题的能力。

学生们热情不减，还得出在椭圆里， 与 一般情况不垂直等结论。

生10：（总结）设椭圆 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 两点，过 两点分别作椭圆的切线，设交点为 。则：

（1） 点在右准线上；（2） =0；（3） 与 一般情况不垂直。

生11：可以用同样的方法研究在双曲线中的情形。

师：同学们已掌握了解题方法，下去自己总结归纳。

4.再思考与提升

为进一步拓展学生的发散思维，，也为不断提升其核心素养，提出以下问题供学生继续探究：

（1）过抛物线 上任意两个动点 的直线，若满足 ，则动直线 恒过定点_____。

（2）对椭圆 与双曲线 又分别恒过定点_____。

课程进行到此，同学们纷纷惊叹试卷中的解析几何试题都能解决了，总结出问题的多样性和解法的相对稳定性的结论。至此，同学们对 “定值定点”问题的分析方法和解题思路都能基本掌握。

5.教学反思

（1）本节课以问题为导向，通过学生的自主性学习，对圆锥曲线中“定值定点”作了初步探讨，教学过程的组织尚存不足，但学生兴趣浓厚，对解析几何交汇处的问题形成解题思路，不仅从方法上给予指导，而且从不同的角度落实逻辑推理素养，数学运算素养，对学生所学的知识进行了巩固与提升，达到一定的效果。最重要的是学生体会到高三的复习不是机械的记忆与接受，要对已学的知识与经验实施“深加工”，使之更进一步充实、完善、提高方能进入最佳应试状态。

（2）对老师而言，我们不可忽视课堂是提升核心素养的主渠道，基于问题驱动的课堂才是真正的数学课堂。课堂上不仅选题要精，同时要精心设计具有启发性的问题。引导学生合理复习，最大限度调动其主观能动性。力求通过不同形式的自主学习和探究活动，让学生体验数学的发现和创造的历程，不仅使其综合能力得到提升，又使数学的核心素养得以落实，从而更好的培养学生的创新能力。

参考文献：

[1] 罗增儒.基于核心素养的教学研修.中学数学教学参考（上旬），2018（9）.

[2] 马佑军.基于核心素养的问题探究历程.中学数学教学参考（上旬），2018（7）.

（作者单位：宝鸡中学）