数学建模思想在概率论与数理统计教学中的应用

2019-09-10杜辉郭立丰毕波

大众科学·下旬 2019年9期

杜辉郭立丰毕波

摘要：概率论与数理统计是大学数学非常重要的一门课程，应用性很强，将数学建模思想植入到概率论与数理统计中，能有效的提高概率的教学效果。

关键词：概率论与数理统计;数学建模;应用

一、前言

《概率论与数理统计》是近代数学的基础，它和《高等数学》、《线性代数》构成了大学数学的重要组成部分。它的研究对象是随机现象，在工农业生产、金融、保险、经济与企业管理、医学、地质学、气象与自然灾害预报等方面都有非常重要的应用，是高校各理工科专业非常重要的数学基础课。

《概率论与数理统计》课程目前的教学现状多是以理论讲解为主，以教师为主的“满堂灌”的教学模式。现阶段，《概率论与数理统计》课程的教学亟待解决的问题是：如何改变枯燥的教学模式、激发学生的学习兴趣，如何加强学生数学思维的培养，从而将其应用到解决实际问题中。通过多年的教学笔者发现将数学建模思想融入概率教学中是一种行之有效的方法。

将数学建模思想融入概率教学中，可以弥补传统教学的不足之处，有利于推动大学数学公共课程的改革，对培养学生的数学思维和提高学生的数学素养有着重要的意义。在课堂上引入实际生活中的案例，应用相应的概率知识解决实际问题，能够让学生更好地了解改门课程相关知识的背景以及实际意义，能够培养学生的创新能力、激发学生学习兴趣，提高学生的团队合作能力和解决实际问题的能力。[1]

二、概率论与数理统计中的数学建模案例

（一）等可能概型在实际问题中的应用

等可能概型，也叫做古典概型。它的基本思想是：一个试验的所有的基本事件发生的可能性是相同的。这样的概率模型叫做等可能概型，等可能概型中随机事件的概率可以用相应的公式来计算。

例1 （遗传问题）每个人的基因都是一份来自父亲，一份来自母亲.同样地，他的父亲和母亲的基因也有两份.在生殖的过程中，父亲和母亲各自随机地提供一份基因给他们的后代。

以褐色的眼睛为例.每个人的基因都一份基因显示他的眼睛颜色：（1）眼睛为褐色;（2）眼睛不为褐色.而“眼睛为褐色”的基因是显性基因。用字母B代表“眼睛为褐色”这个显性基因，用b代表“眼睛不为褐色”这个基因，则一个人眼睛颜色的基因有BB，bb（表示父亲提供基因B，母亲提供基因b），bB，bb，注意在BB，Bb，bB和bb这4种基因中只有bb基因显示为眼睛颜色不为褐色，其他的基因都显示眼睛颜色为褐色.假设父亲和母亲控制眼睛颜色的基因都为Bb，则孩子眼睛不为褐色的概率有多大？

分析：孩子有可能产生的基因有4种，即BB，Bb，bB ，bb（如右图）.又父亲或母亲提供给孩子基因B或b的概率是一样的，所有可以认为孩子的基因是这4种中的任何一种的可能性是一样的，因此，这是一个等可能概型问题.只有当孩子的基因为bb时，眼睛才不为褐色，所以，“孩子眼睛不为褐色”这个随机事件发生的概率为1/4=0.25。

（二）贝叶斯公式在实际问题中的应用

例资料显示，某国家某项传染病血液检测，患者呈阳性反应的概率为 95 %，而健康人这种检测的准确率（即没有病的人检查为阴性）为 99 %.经调查，该国家估计大约有1/1000的人患病.为了能有效地控制、减缓该病的传播，曾有人建议对申请新婚登记的新婚夫妇进行这种血液检查.该计划提出后，遭到专家的强烈反对，下面利用贝叶斯公式分析专家反对这项计划的原因。 [3]

設A={检查为阳性}，B={患病}.由已知：

即检测呈阳性则此人患病概率约为0.087.这个结果似乎与实际不符，但从资料显示来看，这种检测的精确性似乎很高.因此，一般人可能猜测，如果一个人检测为阳性，则他患有该传染病的可能性很大，然而计算结果却仅为8.7%.如果通过这项计划，将会给申请登记的新婚夫妇带来不必要的恐慌。

（三）中心极限定理在实际问题中的应用

例某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元. 若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率？

分析：设X为一年中投保老人的死亡数，则Xb（n，p），其中n=10000，p=0.017，由德莫佛-拉普拉斯定理知，保险公司亏本的概率为

三、结论

在概率统计教学中，植入数学建模思想的有着重要的意义，它可以促进教学方法的创新，提高学生的学习兴趣，加深学生对所学知识的理解，对促进人才培养有着积极的作用。

参考文献：

[1] 张爱华，杨冬香数学建模思想融入“概率论与数理统计”的教学改革研究，科教文汇，2019年3月.

[2] 龚曙明.应用统计学[M].北京：清华大学出版社，2005.

[3] 杨静，陈冬，程小红.贝叶斯公式的几个应用，大学数学，2011年4月

基金项目：