高中数学课堂习题的设计初探

何芬芬

学习数学离不开习题，习题不仅能够深化对知识和方法的理解和掌握，体会各部分各章节数学知识的内在联系，而且能够培养和发展学生的基本数学能力，能使学生学会独立思考，培养创新意识，使学生的数学创造能力得到发展，现对高中数学课堂如何设计习题提出几点看法。

一、习题设计应注重问题情境的设置

数学解题思维活动始于问题情境，让学生从问题及其情境中接受信息，从已知状态一步一步走向目标状态。在习题设计中应营造“问题解决”的氛围，使学生身临其“境”，对新的问题产生敏感，激发他们的思维火花，尽快进入迫切“问题解决”的思维状态。例如，在讲述必修四的《三角函数》中可设计下面习题：已知某海滨浴场的海浪高度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记作y=f（t），下表是某日各时的浪高数据。

经长期观测，y=f（t）的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b。

（1）求函数y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函数表达式。

（2）依据规定：当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行。

解：（1）由题意可知2T=24

∴T=12= 解得 = 而振幅A=（1.5-0.5）÷0.5

∴y=0.5cos t+b 又当t=0时y=1.5

∴0.5cos0+b=1.5得b=1

∴y=0.5cos t+1

（2）由0.5cos t+1>1得cos t>0

∴2kπ- < t<2kπ+

解得：12k-3

∴可供冲浪者进行运动的时间为上午9：00时至下午15：00，共6小时。

如此设计可将所学三角函数的知识应用于实际生活中，有效地调动了学生思考的积极性，巩固强化了学生的思维能力，从而充分发挥出习题教学的应有功能和价值。

二、习题设计应注重阶梯延伸性的设置

学生掌握新知识是从模仿开始的，而且应有一个必要反复过程，才能达到新知识的稳定。若老是停留在模仿的机械重复阶段，学生自然感到枯燥乏味，觉得有劲没处使，形成思维的惰性，所以，在设计习题时要根据教学内容和学生的实际及个人的认知规律，使习题有的放矢，循序渐进，逐级而上，完善知识。例如，讲述函数单调性时可设计以下两道习题。

例题一：证明函数f（x）=x+ 在（0，1）上是减函数。

证明：任取x1， x2 ∈（0，1），且x1 < x2 则 x1-x2 <0

f（x1）-f（x2）= （x1+ ）-（x2+ ）=（x1-x2）+（ - ）

﹦（x1-x2 ）+

﹦（x1-x2） +（1- ）

=

∵0

∴ x1x2-1<0，故f（x1）-f（x2）>0.

∴f（ x2）< f（x1）

∴函数f（x） =x+ 在（0，1）上是減函数。

例题二：判断函数f（x）=x+ （p>0）的单调性。

解：任意取x1， x2∈（0，+∞），且x1< x2则f（x1）-f（x2）= x1+

-（x2+ ）=（x1- x2）+ =（x1- x2 ）·

要判定此式的正负只要确定x1x2与p的大小，由于x1，x2的任意性，考虑到要将（0，+∞）分为（0， ）与（ ，+∞）。这

样，学生在分析解决例2的过程中必然会联想到例1的求解过程。这一过程并非完全简单的重复，在例2的新情境下，鼓励学生尝试如何在原有的认知结构基础上进行重新建构，体验如何利用原有的认知经验来解决新问题的数学化归思想，完成知识阶梯的上升和延伸。

三、习题设计应注重开放性

学生解题时思维常存在定势，为了打开思维的禁锢，在习题设置中应增加开放性，这样可以培养学生思维的深刻性和灵活性，克服思维的呆板性，提高解题能力。例如讲述《解三角形》时可设置下面例题。

例题，在△ ABC中，已知角A，B，C所对的边长为a，b，c，若a= ，b= ，A= 45°求边长c。

解法一：在△ABC中，根据余弦定理可得

a2=b2+c2―2bccosA，即c2- c-6=0，∴c= ±3.

∵c>0，∴c= +3

解法二：在△ABC中，由正弦定理，得

SinB= = = ∵b

∴B=30° C=180°-A-B=105°

∴sinC=sin105°=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°

=

∴c= = = +3

四、习题设计应注重典型案例分析及题后反思

数学解题是一种创造性活动，谁也无法教会我们全部的题目，最重要的是通过有限的典型习题学习去领悟那种解无限道题的数学机智。这就需要典型案例设计及题后的反思。分析典型的习题或自己的解题是一种“案例研究”，可以帮助我们树立一种观念，明白一个道理，学到一种方法。数学解题案例渗透着对特定数学问题的深刻反思，揭示了数学解题实践的经验与方法，蕴涵着一定程度的理论原理，是了解数学解题教学的窗口，是数学问题解决的源泉，是数学解题理论的故乡。现代认知心理学告诉我们：解题训练必须与反省认知相结合才能达到良好的迁移效果。解题之后进行反思，是提高数学思维能力的有效方法。解题反思，不仅要反思计算的正误、方法的优劣、题目的推广，习题是否做到了重点突出、难点有效突破等，还要从思维的“视角”引导学生反思解题所用的知识，解题的思维起点、层次和规律，从根本上提高了学生的数学解题能力。