为什么会忘记除以2？

姜文敏

摘要：学生在计算三角形面积时经常会忘记除以2。如何减少这样的错误？教学《三角形的面积计算》一课，应该引导学生展开合理猜想，获得初始认知;经历操作过程，增加感性经验;分析归纳推理，探索计算公式;变化万千形象，推演计算真知。

关键词：三角形的面积计算 猜想 操作 归纳 变式

“为什么这些学生会在计算三角形面积时忘记除以2？其中还有一些平时数学成绩比较好的学生！我教学时也用两个三角形去拼了，也让每一个学生都默写计算公式了，可是一测试，还是有七八个学生忘记除以2。”以上是一位青年教师在试卷分析时所抱怨的一些话语。粗听之下，确实没错，该教的都教了，该背的都背了，该练的都练了，那肯定是学生方面出了问题。但是细细思之，如何把握平面图形计算的教学？如何让学生真正地理解计算方法？对于这些，我们也许做得还远远不够。

下面，笔者以《三角形的面积计算》一课的几个教学片段为例，阐述如何让学生真正掌握三角形的面积计算，把握知识、方法的本质，提升思维的稳固性。

一、展开合理猜想，获得初始认知

绝大部分定理都是从猜想开始的，并且学生对要学的新知并不是一无所知。教师可让学生根据自己的已有知识（前概念），结合自己的理解进行大胆猜想，迈出走进知识殿堂的第一步。

【片段1】

师（出示平行四边形图）这个平行四边形的面积怎样计算？

生平行四边形的面积=底×高。

师（出示与平行四边形等底、等高的三角形）这个三角形的面积如何计算呢？大胆猜测一下。

生底×高。

师将三角形的面积和平行四边形的面积大小比一比，它们能一样进行计算吗？

生底×高÷2。

师“底×高”算的是什么？为什么刚好要“÷2”？这些正是这节课同学们要通过自己的实践去探索的三角形面积计算问题。

二、经历操作过程，增加感性经验

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”在平面图形计算教学中，应帮助学生形成自己的学习经验。具体到三角形面积计算的教学，要让学生经历三角形面积公式的推导过程，还原推导的原始操作，经历知识的“再发现”“再创造”过程。

【片段2】

教师提供9个三角形，其中有3对是全等三角形，分别是锐角、直角、钝角三角形;还有3个是干扰图形，分别和3组全等三角形相似，但不完全一样（如图1）。学生动手拼平行四边形时，基本上都能用全等的三角形拼出平行四边形，个别小组把干扰的三角形通过剪的方式也拼成了平行四边形。

这样设计的目的是让学生在动手操作的过程中明白“只有完全一样的三角形才能拼成平行四边形”。学生通过自己动手操作，用两个完全一样的三角形拼出了平行四边形，这样获得的感性认识特别深刻。同时，干扰图形的出现也让学生加深了对“两个完全一样的三角形”这一前提条件的认识。

至于由一个三角形剪拼成平行四边形，进而推导出三角形面积公式的方法，本课不多做说明，只点到为止，埋下伏笔。

三、分析归纳推理，探索计算公式

美国教育家布鲁纳指出：教学不是带领学生铭记已有的结果，而是教他们如何参与知识获取的过程。因此，三角形面积公式的推导过程应该是学生在动手操作以后，根据自己操作的实验数据，进行观察、比较，然后分析、推理的过程。

【片段3】

师（出示表1）请把你们刚刚动手拼的三角形和所组成的平行四边形的条件都填进表中。

师你是怎样填写的？为什么平行四边形的高是5厘米，三角形的高也是5厘米？为什么平行四边形的底是6厘米，三角形的底也是6厘米？小组讨论、比较一下。你有什么发现？

生三角形的底相当于平行四边形的底，三角形的高相当于平行四边形的高;三角形的面积是平行四边形面积的一半。

师三角形的面积为什么是平行四边形面积的一半呢？

（教师追问几个学生，直到學生答出“两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半”。）

师由此，我们可以怎样计算三角形的面积呢？

生三角形的面积=底×高÷2。

师“底×高”算的是什么？为什么要“÷2”？

生“底×高”算的是两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积。“÷2”是因为平行四边形是由两个完全一样的三角形拼成的，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

师所以我们计算三角形的面积只要知道什么条件即可？

生底和高。

考虑到学生的实际情况，这里教师通过设问的方式引导学生进行推理。对于三角形的面积公式，一定要通过反复的追问，使学生明确“底×高”求的是什么，为什么要“÷2”。这对于学生理解和掌握三角形的面积计算方法很重要。对这样的学习成果，学生理解得透彻、掌握得扎实，便能在以后的学习中熟练运用，不犯或少犯错误。

四、变化万千形象，推演计算真知

“题有千变，贵在有根。”这是我国著名数学家陈景润先生谈到数学解题时说过的一句名言。教学《三角形的面积计算》时，就应该以“三角形的面积计算”为根，出现多种变式题目，让学生能在众多变化的复杂环境中选择正确的解题方法。

变化的题目多种多样，可以改变三角形的类型，多出现钝角、直角三角形;改变三角形摆放的位置，使底和高出现在三角形的上方;增加底和高进行干扰，如出现2个底和1个高;放在实际的生产、生活中，如有一块三角形的土地，求一共收获多少千克萝卜，或者求每平方米有多少棵白菜;逆向练习，如“已知三角形的面积是20平方厘米，底是5厘米，则高是多少厘米？”，特别是在学生列出算式20×2÷5后，追问学生“20×2”求的是什么，为什么要先“×2”……

参考文献：

[1] 郭庶，王瑞霖.弗莱登塔尔再创造理论对数学教学提出的挑战[J].首都师范大学学报（自然科学版），2015（5）.

[2]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011.

[4]潘红娟.是一种思想，更是一种策略——“三角形的面积练习”教学实践与思考[J].小学数学教育，2016（Z3）.