高中数学中解答应用题的教学思路探究

【摘 要】应用题是高考数学的必考内容，通常作为压轴题出现，学生在解答时普遍存在畏难情绪，得分较低。本文从解答应用题的常规步骤、阻碍学生解答应用题的常见因素、帮助学生突破解题障碍的常用方法三个方面进行阐述，并结合当前高中数学教学，探究如何利用建模思想引导学生解决实际问题，从而提高教学效果和质量。

【关键词】高中数学;应用题;教学方法

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2019）34-0202-03

数学学科具备三大特点：高度抽象性、严密逻辑性和广泛应用性。应用题是数学学科的重要组成部分，更是这三大特点的集中体现。数学课程基本理念中指明：注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。应用题的教学是提高学生分析问题、解决问题能力的途径之一，同时也是培养学生应用能力、创新精神的平台之一。在被誉为“千军万马过独木”的高考中，应用题是必考内容，通常作为压轴题出现。部分学生的应用题存在得分较低、存在畏难情绪的情况，如果学生能顺利攻克应用题，会为后续应试考试带来积极的影响。因此，教师必须高度重视高中数学应用题的教学。笔者结合多年的教学实践，从教授解答题应用题的常规步骤、阻碍学生解答应用题的常见因素、帮助学生突破解题障碍的常用方法三个方面进行探究。

1   解答应用题的常规步骤

经过多年的教学实践，笔者将解答应用题的一般步骤总结如下：（1）审题;（2）设变量;（3）求出变量的取值范围;（4）列出关系式;（5）求解;（6）检验并作答。结合例1给予详细阐述。

例1.某宾馆在装修时为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形为中心在圆心的矩形，现计划将矩形区域设计为可推拉的窗口。

（1）若窗口为正方形，且面积大于（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围;

（2）若四根木条总长为，求窗口ABCD面积的最大值。

第一步：认真审题。已知圆的半径为，第（1）问中，四边形ABCD为正方形，所以四根木条的长度相等，要求的是木条总长度的取值范围。第（2）问中，四边形为矩形，四根木条总长为，所以AB、BC所在木条的长度之和为，要求的是矩形ABCD面积的最大值。经提炼应意识到，两小题都是对圆的弦长的考查。

第二步：设变量。第（1）问中可以直接设其中一根木条长为，也可间接地设点到AB的距离为，还可以设为（点为点在AB上的射影）。第（2）问中可以设两个变量，即设AB，BC所在的木条长分别为，，则。也可只设一个变量，即AB所在的木条长为，则BC所在的木条长为。

第六步：检验并作答。检验所得结果是否符合实际问题的要求，是否正确。如：现实生活中长度、时间总是非负的，人数、车辆数总是整数，存款按单利计息而贷款按复利计息等。例1第（1）问中如果开始只是求出，这时就是一个补救的机会。作答其实就是再次回到实际问题的步骤，用简洁、明确的语言给出清晰的结论。

这几个步骤相互依赖、相辅相成。审题是关键，如果读不懂题意、误解题意，就不能将实际问题转化为恰当的数学问题，变量的设立会影响关系式的建立，关系式的建立又会影响求解的方法。因此，在解答应用题时应将实际问题正确地转化为所学的数学问题，选择恰当的变量建立恰当的关系，以便于快速求解。检验是对解答过程的反思，作答是对解答过程的总结，由数学问题再次回到实际问题中去。

2   阻碍学生解答应用题的常见因素

审题时学生阅历浅，而应用题的背景具有社会性和生活性，学生很容易产生惧怕心理，有时连题目都没看完就置之不理。应用题文字叙述长，直接、间接条件、问题、结论不太明朗，学生容易产生烦躁心理。有时急于求成，盲目下笔导致解题出错。

设变量，求变量的取值范围，列出关系式是建模的三个步骤。设变量的目的是便于用数学中的数字、字母表示实际问题中的各个量，进而再用数学中的等式、不等式表示实际问题中各量之间的关系。学生对数学知识的记忆、理解、掌握程度不高，不能选择恰当的变量。如例1的第（1）问既可以选择长度为变量，又可以选择角度为变量，设长度时既可以直接设其中一根木条的长度又可以间接设弦心距;第（2）问既可以设两个相关变量又可以仅设一个变量。第（1）问中变量的选择对解题难度和速度影响不大;第（2）问中变量的选择对解题难度和速度影响较大。求变量的取值范围是为了明确研究范围。学生容易抓住显性的约束条件而忽视隐性的约束条件。隐性约束条件有的就在题目中，只是学生视而不见，如例1中的“四根木条将圆分成如图所示的9个区域”，还有的题目中没有明确指出，但会受到客观事实制约，如例1中的木条长度必然大于零。列出关系式即：用数学语言描述变量间的关系。当关系复杂时学生容易手忙脚乱，不会分层分步处理。单位的不统一也会导致关系式建错。

求解即解模。有的学生解模方向不明确，如例1的第（2）问是最值问题的研究，可以用基本初等函数的单调性，可以用基本不等式及其变形，还可以用导函数。用基本不等式及其变形解模运算量小但思维量大，用导函数解模思维量小但运算量大，用基本初等函数的单调性又需要等价转化。学生受运算能力、思维能力的影响，比较习惯朝自己擅长的方向去尝试，因而不一定能找出适合这个问题的最优方向。

3   帮助学生突破解题障碍的常用方法

首先，教师要耐心指导学生细致地读题，读懂问题的实际背景。遇到较长的语句就在关键词、数据下作出标记，弄清每一个名词、概念，分析每一个已知条件和要求结论的数学意义，挖掘实际问题对所求结论的限制等隐含条件。其次，教师要给予学生充足的训练机会，鼓励学生说出已有的认识，教师在此基础上给予引导、纠正、优化，以锻炼、发展学生的审题能力。不能因为审题能力与阅读理解能力相关，而阅读理解能力与语文学科关系密切而不作为，也不能为了节省讲解时间而直接将学生的注意力锁定在关键词、句上。否则，学生容易在平时养成依赖心理，当他们孤军奋战时信心不足、能力不够。

就建模而言，当学生审清题意后，就会在脑海里提取相关的数学知识，应用到实际问题中。因此，要注重学生基础知识的学习和掌握，为基础知识的应用做好充分准备。一般教师会从概念、性质、应用三个方面讲解数学知识，如果这个知识经常以应用题的形式出现，不妨在讲应用题时强调该问题在实际问题中的应用，编制一个应用题微专题，以培养和强化学生的应用意识。高中数学中与解答应用题关系密切的知识有：函数、导数、不等式、三角、数列、直线、圆、抛物线、线性规划等。学生接触大量应用题后，教师可以指导学生将遇到的应用题分类整理，形成模型，这些模型会增强学生的信心，正所谓“手中有粮，心中不慌”。

就解模而言，学生对已经整理出来的数学模型进行化简、运算、抓住问题核心，转化为相应的数学问题。常见问题有以下两类：一是求最值;二是研究方程、不等式的解。求最值的方法包括：①借助基本初等函数的图像确定单调性;②借助导函数的正负确定原函数的单调性;③借助基本不等式及其变形;④有时会遇到分段函数的最值问题，需分别研究每一段的最值，再确定整个定义域上的最值。

研究方程、不等式的解的方法包括：①直接使用基本初等函数的图像、性质解方程、不等式;②用导函数的正负确定原函数的单调性，结合函数图像上的特殊点确定方程、不等式解的情况;③有时方程的解也表现为对应函数的零点，两者本质上是一样的。在解模过程中若能有效结合四大数学思想方法（函数与方程，分类讨论，等价转化，数形结合）会事半功倍，大大提高解模效率。

应用题不仅在高考中占较大分值，而且具有较强的实用价值。通过科学合理的训练可大幅度提升应用题解答能力，因此，教师有必要加强对应用题教学方法的研究，提升学生分析问题、解决问题的能力。

【作者簡介】

张顾晶（1982～），女，江苏如皋人，本科，中学一级教师。