2-PrRS-PR（P）S并联变胞机构自由度分析与仿真

马琨 马宏伟 田海波

摘 要：針对并联机构输出自由度固定，难以适应变化的环境和工况的问题。根据变胞理论中改变运动副方位特征实现构态变换的原理，设计一种新型可变转动副轴线的2 PrRS PR（P）S并联变胞机构，通过机构的变胞实现机构在不同构态下输出自由度和工作空间的变化。2 PrRS PR（P）S机构包含3个分支、动平台和静平台，利用移动副作为驱动副，其中分支2和分支3能够通过改变移动副的位移来改变的可转轴线转动副在滑槽中的位置，进而改变其转动轴线的方向，且分支1上连杆的移动副在轴线变化时被动作用，实现机构不同构态的变化。根据机构特点，利用螺旋理论对2 PrRS PR（P）S机构2个工作构态进行自由度分析和计算，应用多自由度并联机构输入选取理论确定主动输入副。利用SolidWorks软件建立三维实体模型，并将2种工作构态模型分别导入到ADAMS软件，对其进行自由度的分析和验证。计算和仿真结果表明机构工作构态1具有x轴和y轴方向转动自由度、z轴方向移动自由度;机构在构态3具有x轴和z轴方向转动自由度、y轴方向移动自由度。机构能够根据需求改变工作构态实现输出变化。

关键词：并联机构;变胞机构;自由度分析;螺旋理论

中图分类号：TH 112.1

文献标志码：ADOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2019.0124文章编号：1672-9315（2019）01-0168-07

DOF analysis and simulation of 2 PrRS PR（P）S

parallel metamorphic mechanism

MA Kun，MA Hong wei，TIAN Hai bo

（College of Mechanical and Engineering，Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China）Abstract：Since the DOF of parallel mechanism is unchanged and can not adapt to the changing environment and working condition.Based on the theory of metamorphic that changing the orientation of kinematic pairs can lead to configuration transformation，a novel metamorphic parallel mechanism of 2 PrRS PR（P）S mechanism that can change the orientations of the axis of the revolute pair has been designed to change the output and workspace.The mechanism comprises three limbs，moving platform and static platform.The prismatic pair is the drive pair.The revolute pair of limb 2 and limb 3 can change its rotation axis while the prismatic pair on the upper rod in limb 1 can change passively by the change of displacement of prismatic pair.According to the characteristics of the mechanism，the DOF of two configuration has been analyzed using the screw theory.The driving pair has been selected and verified by the theory of selecting input of multi DOF parallel mechanism.Using SolidWorks software，the model of the mechanism has been built and imported into the Adams software to analyze the mechanism’s DOF.The calculation and simulation results show that the mechanism has two rotational freedom along the x and y axis，a translational freedom along the z axis in configuration 1，two rotational freedom along the x and z axis，and a translational freedom along the y axis in configuration 3.This parallel metamorphicmechanism can change its output according to requirements.

Key words：parallel mechanism;metamorphic mechanism;DOF analysis;screw theory

0 引 言

少自由度并联机构由于具有结构简单、灵活度高、响应速度快等特点，在工业机器人、运动模拟器、数控回转台等领域得到广泛研究与应用，如基于3 PRS并联机构的Z3主轴头[1]和采用2 UPR/SPR机构的Exechon五轴加工中心[2]等。变胞机构是可根据环境和工况变化，能从一种构态转变为另一种构态的变拓扑机构[3-4]。研究者将并联机构和变胞机构特点相融合，设计出一些具有良好运动特性的并联变胞机构，使其可以根据环境和工况的变化和任务的需求改变自由度，进行自我重构，得到更好的应用[5]。

自由度分析是少自由度并联机构的研究热点。Gogu分析了前面100多年间学者们提出的30多种自由度计算公式，提出自由度快速算法的限制，并提供了新的公式[6]。杨廷力等对近十年的自由度公式进行回顾，给出基于约束分析的自由度公式的统一形式[7]，并提出基于方位特征的自由度计算方法 [8]。黄真等提出基于约束螺旋理论的自由度分析方法和修正的G-K公式，成功的解决了许多疑难机构的自由度[9]。柴馨雪将自由度的求解归纳为基于约束方程求秩的方法、基于群论的方法[10]、约束螺旋法[11]等，提出基于几何代数的自由度计算方法[12]，给出3 PRRU并联机构自由度的符号表达式[13]。廖明等采用方位特征集的方法分析并联机构自由度[14]。张二吻等利用约束螺旋理论得出2 PSP & 1 S具有2个转动自由度[15]。刘宏伟分析了2种3 TPT并联机构自由度，借助Adams仿真验证了理论分析[16]。

目前，针对并联变胞机构的自由度分析，大多也采用基于约束螺旋理论的方法。吴腾提出一种新型3 UPU并联变胞机构，在构态1具有3个平动自由度，在构态2变换为3个转动自由度 [17]。甘东明设计了一种3rTPS并联变胞机构，通过改变新型虎克铰轴线来改变机构的自由度数目[18]。畅博彦提出一种并联球面变胞机构，在正常构态下具有3个转动自由度，在变胞构态具有额外一个径向自由度 [19]。

文中根据变胞机构理论中改变运动副方位特征实现构态变换的原理，设计一种新型可变转动轴线的2 PrRS PR（P）S并联变胞机构，可应用于管道检测机器人的并联支撑腿、数控加工刀具的换向机构和物料快速抓取及振动分拣机构等工程实际中。根据需求进行自由度变换，以适应任务需求。首先利用螺旋理论分析机构不同构态的自由度特性;其次利用多自由度并联机构输入选取理论分析机构输入选取的合理性。最后，基于SolidWorks建立机构运动简化模型，在Adams中进行仿真，验证分析的正确性。

1 2 PrRS PR（P）S并联变胞机构

2 PrRS PR（P）S机构示意图如图1所示，该机构由动平台、静平台、和3个分支组成。分支1为PR（P）S结构，分支2和分支3为PrRS结构，其中rR为可转轴线转动副。

2 PrRS PR（P）S机构是一种并联变胞机构，能够通过改变移动副的位移来改变转动轴线的方向。分支2和3的滑套内壁刻有滑槽，滑槽由两段沿滑槽轴向成90°间隔的直线段和中间过渡螺旋线构成，当分支2和3的转动副轴线位于第一个直线段，转动副轴线平行于静平台，此时机构处于构态1状态;通过移动副驱动，分支2和3的转动副轴线进入中间过渡螺旋线段，转动副轴线与静平台成一定角度，机构处于构态2过渡构态;当机构分支2和3的转动副轴线通过螺旋线段进入第二个直线段，转动副轴线垂直于静平台，分支1中的上连杆移动副会在拉力作用下解锁，使该分支杆伸长并锁定，此时机构处于构态3状态。其中构态1和构态3为工作构态，构态2为过渡构态。

机构的结构简图如图2所示，动平台B1B2B3和静平台A1A2A3均为正三角形。分支1的移动副P1的移动轴线沿着过A1点的正三角形中线。转动副R1的转动轴线与静平台A2A3边平行;分支2和分支3的移动副P2和P3的移动轴线沿着A2A3，转动副rR2和rR3为可变转动轴线的转动副，其轴线平行于YOZ平面。机构可以通过改变移动副P2和P3的位移来改变转动副rR2和rR3的轴线与静平台的角度。

建立空间直角坐标系，定坐标系-XYZ的原点位于A2A3中点，X轴沿着A2A3指向A3点方向，Y轴沿着OA1指向A1点方向，Z轴垂直于静平台向上;动坐标系O1-X1Y1Z1原点位于B2B3中点，x轴沿着B2B3指向B3点方向，y轴沿着OcB1指向B1点方向，z轴垂直于动平台向上。

2 基于螺旋理论的自由度分析

利用螺旋理论，对并联机构不同构态的每个分支求取运动螺旋系和反螺旋系，讨论作用于构件上的约束螺旋系，确定并联机构的运动螺旋，从而可以判断机构的自由度，进而根据修正的Kutzbach Grübler公式验证机构的自由度。

分析時只对工作构态进行分析，2种工作构态如图3和图4所示。

2.1 构态1机构自由度性质分析

机构分支2和分支3的移动副处于滑槽的第一个直线段时，为构态1状态，分支2和分支3转动副轴线与静平台所在平面平行。

取分支1求解其运动螺旋和约束螺旋，建立如图5所示分支1坐标系O1-X1Y1Z1.

对上式求反螺旋，得到分支1的约束螺旋为

S|r1=（1，0，0;0，z1，-y1），由

S|rS|r0=0得出此约束螺旋是一个与X1轴同向的力矢量，且过B1点。同理，分支2的约束螺旋为S|r2=（0，1，0;-z20，x2），分支3的约束螺旋为

S|r3=（0，1，0;-z3，0，x3），分别与Y2和Y3同向的力矢，过B2点和B3点。3个分支施加3个力矢，则该平台有3个自由度：绕x轴和y轴的转动自由度及沿z轴的移动自由度。

2.2 构态3机构自由度性质分析

机构分支2和分支3的可转轴线转动副经移动副驱动转到滑槽的第二个直线段时，为构态3状态，此时分支2和分支3

转动副轴线与静平台所在平面垂直，根据螺旋理论，分支1与构态1的运动螺旋相同，则约束螺旋为：

S|r1=（1，0，0;0，z1，-y1）.

对分支2，建立如图6所示分支1坐标系

O2-X2Y2Z2.

取B2坐标为（x2，y2，0），则分支2的运动螺旋系，并对其求反螺旋，得到分支2的约束螺旋S|r2.

由S|′S|r0=0，此约束螺旋是是一个与Y2轴同向的力矢量，且过B2点。

分支3与分支2结构相同，其约束螺旋为S|r3=（0，0，1;y3，-x3，0），是一个与Y3轴同向的力矢量，且过B3点。则平台有3个自由度：绕x轴和z轴的转动和沿y轴的移动。

另外，由修正的Kutzbach Grübler公式有

=d（n-m-1）+mi=1fi+v

式中 d为机构的阶数，个;n，m分别为构件总数和运动副总数，个;fi为第i个运动副的相对自由度数，个;v为机构冗余约束数，个。

计算可得此机构在这2种构态下自由度数目为3，这验证了机构自由度的正确性。

3 2 PrRS PR（P）S机构驱动选取

所采取驱动副数目要和机构自由度数目相等，才能成为有确定输入机构。此机构在2个构态具有3个自由度，且其构态变化是通过移动副位移变化来实现可转轴线转动副转动轴线方向的改变，故选取3分支中的3个移动副作为输入驱动副，利用多自由度并联机构输入选取理[20]验证其合理性。

3.1 构态1驱动选取分析

在构态1的初始位形，刚化3个分支的移动副，分支1的运动螺旋系为

求其反螺旋，可得分支1的约束螺旋为

式中 S|r11为沿一个沿平行于第一分支坐标系x轴的轴线的约束力，作用点过球副中心点;S|r21为一个沿着分支1杆长方向向的约束力，且过球副中心。同理，分支2和分支3的约束螺旋为

则从机构整体看，3个分支有提供6个约束力矢，其中的

S|r21，S|r22，S|r23沿着各自的x轴方向，且过各自的球副中心点，线性无关。S|r21，S|r22，S|r23沿着各自分支连杆方向，线性无关。根据线矢量和螺旋在不同几何空间下的线性相关性，可知整个机构的6个约束螺旋所组成的约束螺旋系

S|r=（S|r11，S|r22，S|r12，S|r22，S|r13，S|r21）

的秩为6，即dim（S|r）=6.所以选取3个分支的移动副作为主动输入副是合理的。

在位形发生变化后，容易求出各分支的约束螺旋与前面相同，则其约束螺旋系的秩仍为6，所以发生位形变化后各分支选取移动副作为主动输入副是合理的。

3.2 构态3驱动选取分析

在构态3的初始位形，刚化3个移动副，机构分支1的运动螺旋系与构态1时相同，其对应的约束螺旋为

对分支2，其运动螺旋变为

求其反螺旋，可得分支2的约束螺旋为

同理，分支3的约束螺旋为

从机构整体看，3个分支提供6个约束力矢，其中的

S|r11沿着分支1的x轴方向，

S|r12，S|r13沿着各自的z轴方向，且过各自的球副中心点，线性无关。

S|r21，S|r22，S|r23沿着各自分支连杆方向，满足空间不汇交条件，线性无关。同样可知整个机构的约束螺旋系

S|r=（S|r11，S|r21，S|r12，S|r22，S|r13，S|r21）的秩为6，即dim（

S|r）=6.所以选取3个分支的移动副作为主动输入副是合理的。

在位形发生变化后，容易求出各分支的约束螺旋与前面相同，则其约束螺旋系的秩仍为6，所以发生位形变化后各分支选取移动副作为主动输入副是合理的。

综上所述，机构选取3个移动副作为驱动副是合理的。

4 机构自由度Adams仿真

利用SolidWorks建立机构的虚拟样机模型，简化后导入Adams，根据机构连接方式，对各构件添加约束和驱动，机构构态1和构态3仿真模型如图7和图8所示。

4.1 构态1仿真分析

构态1设置运动仿真，仿真时间5 s，仿真步数steps=500，此时给定3个分支相同的驱动，即m1～m3=20*sin（4*time），绘制动平台中心的运动位移曲线如图9所示，可以看出，机构动平台在z轴方向上下运动，x和y轴方向无运动。这也验证了机构在构态1时具有z轴方向的移動自由度。

改变3个驱动副的数值，对机构进行重新仿真，仿真时间5 s，仿真步数steps=500，3个驱动副为：m1=10*sin（2*time），m2=20*sin（4*time），m3=25*sin（4*time），可以观察到动平台出现摆动。绘制动平台中心的角运动速度曲线如图10所示。

可以看出，机构在绕着x轴和y轴方向存在转动，在z轴方向无转动。也验证了机构在构态1时的理论计算，即机构具有绕x轴和y轴方向的转动自由度。

4.2 构态3仿真分析

设置运动仿真，仿真时间5 s，仿真步数steps=500，此时给定3个分支驱动分别为m1=10*sin（2*time），m2= 20*sin（2*time），m3=20*sin（2*time），绘制动平台中心的运动位移曲线如图11所示。可以看出，此时动平台在y轴方向上下运动，x和z方向无运动，这也验证了机构在构态3时具有y轴方向的移动自由度。

改变3个驱动副的数值，对机构进行重新仿真，仿真时间5 s，仿真步数steps=500，其中3个驱动副分别为：m1=5*sin（1*t），m2=20*sin（4*t）;m3=25*sin（4*t）。

可以观察到动平台出现摆动。绘制动平台中心的运动角速度曲线如图12所示。可以看出，机构在绕着x轴和z轴方向存在转动，在y轴方向无转动。这也验证了该机构在构态3时具有绕x轴和z轴方向的转动自由度。

5 结 论

1）提出了一种新型可变转动轴线的2 PrRS PR（P）S并联变胞机构，具有2个变胞构态和一个过渡构态;

2）机构构态1具有x轴和y轴方向转动自由度、z轴方向移动自由度;机构在构态3具有x轴和z轴方向转动自由度、y轴方向移动自由度;

3）根据多自由度并联机构输入选取理论，验证了移动副作为主动副的合理性;

4）利用SolidWorks建立机构模型，简化后导入Adams进行仿真，验证了理论分析的正确性。

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