数学直觉思维培养的实践尝试

施惠芳

【摘要】长期以来，我们的数学教学重逻辑、轻直觉。对如何正确理解数学直觉思维的内涵及价值，如何建构有效的数学直觉思维培养策略等一系列问题进行探究具有非常重要的现实意义。扎实的“四基”是数学直觉思维形成的源泉，图形结合是数学直觉思维发展的途径，合理猜想与科学验证能增大数学直觉思维的宽度与深度，当直觉思维与逻辑思维有机结合，学生的数学思维品质才是完整的。

【关键词】小学数学 直觉思维 逻辑思维

如果去了解一些伟大的科学家与发明家，我们不难发现，直觉发挥着不可忽视的作用。欧几里得几何学的五个公式都是基于直觉，阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法，凯库勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范。说起“直觉”，总给人一种神秘的感觉，它往往与“顿悟”“灵感”等词联系在一起。实际上，儿童最初认识世界主要就依靠直觉。如孩子往往能一眼看出两个苹果的大小，能直觉认识3比2大，他们也能意识到从一个地方到另一个地方，走直线最近……

德国数学家伊恩·斯图加特曾说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西。”由此可见，直觉思维与逻辑思维一样，在数学学习中有其不可忽视的重要作用。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确提出，发展学生的数感、符号感，在注重逻辑思维能力培养的同时，应注重观察力、直觉力、想象力的培养。然而，长期以来，我们的数学教学重逻辑、轻直觉的现象普遍存在。美国教育心理学家布鲁纳就曾尖锐地指出：“我们的教学对分析思维太过于强调了，而直觉的训练又太多地被忽视。教学往往不是从直觉水平开始，而是向学生提供高于他们思维水平的‘超分析模型’，这不仅不利于直觉思维的发展，也不利于分析思维的训练。”对如何正确理解数学直觉思维的内涵及价值，如何建构有效的数学直觉思维培养策略等一系列问题进行探究具有非常重要的现实意义。

一、直觉思维的内涵意蕴

直觉思维与抽象思维一样，是人类的一种基本思维方式，它以一定的知识、经验、技能为基础，通过一定的观察、类比、联想等方式对问题提出猜想或做出迅速判断与敏锐想象，是一种不受逻辑规则约束而直接领悟事物本质的思维方式。它具有非逻辑性、创造性、简约性等特点。认知心理学认为学生学习的过程实际是一种自我建构的过程，在原有知识的基础上对新知识进行加工和重新组合，形成新的知识结构，而要熟知这个新结构就必须对纳入的新知有直觉的认识。

1.数学直觉思维在教学中经常发生

在数学教学过程中，学生经常会通过直觉思维找到问题的答案或对问题有新的发现。例如，学生在学习了“3的倍数的特征”这一内容后，练习中要求在百数表中圈出9的倍数，进而研究9的倍数的特征，因为有了对3的倍数特征的认识，学生马上凭直觉感觉到9的倍数可能会有与3的倍数有相似的特征，即“各位上数的和是9的倍数，这个数就是9的倍数”。

2.数学直觉思维的结果不一定正确

由于直觉思维缺少严密的逻辑分析，常常缺乏严密性与可靠性。例如，苏教版五年级下册“解决问题的策略”单元有一道练习：用分数表示下面涂色部分的面积（见图1）。学生往往会在头脑中将中间涂色的正方形进行旋转，简单地认为它与边长3格的正方形大小相等，占整个图形的[]，这就是直觉带来的偏差。

3.数学直觉思维可以后天培养

著名数学家徐利治教授曾说过：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是在不断提高的。”数学直觉可以通过训练来提高。例如，学生学习“圆柱与圆锥”单元，对等底等高的圆柱与圆锥的体积之间是3倍关系有清晰的认识，但如果出现这样的习题往往很容易混淆：圆柱与圆锥等积等底，圆柱的高是15厘米，圆锥的高是（  ）厘米。最初学生凭直觉填写时就知道，所填的数不是15×3的积，就是15÷3的高，但到底是哪个并没有十分清晰的感觉，通过演示对比，让学生在头脑中形成圆柱与圆锥底相等时，要使体积相等，圆锥的高必定是圆柱高的3倍的直观认识，并进行相关训练，今后再解决类似问题时，前面的结论就成为学生的直觉，直觉思维是可以培养的。

二、数学直觉思维的培养策略

1.厚积薄发，丰富数学直觉思维之源

在数学学习中，学生如果不具备扎实的数学基础知识和娴熟的基本技能，没有丰富的基本活动经验，是无法进行数学直觉思维的，更谈不上顿悟或灵感的产生。直觉思维的出现具有一定的偶然性，但也不是空穴来风。好比打篮球时，运动员在快速运动过程中对运球、投篮等是来不及进行逻辑判断的，他迅速做出的反应都是下意識的，是基于平时的刻苦训练形成直觉反应才能达成的。没有一定的知识情景、知识结构、认知基础与策略便不会有直觉产生的基础。因此，在教学中，我们应引导学生加强基础知识、基本技能、基本活动经验和基本数学思想的积累与储备。例如，学生在学习分数、小数四则混合运算的简便计算时，必须对分数、小数的互化，四则运算的运算律、运算性质等基础知识烂熟于心，同时对一些基本简便计算的原型达到一定量的训练，直至熟练的程度，这样积累起来的解题经验才能使学生面对复杂问题时，有效地把握关键，捕捉联系，寻找简算原型，进而做出准确的判断。一般说来，小学生的基础知识越扎实，基本技能越熟练，活动经验越丰富，越容易产生直觉思维。

2.数形结合，展现数学直觉思维之形

数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，它是兼具数与形两种属性的。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，割裂分家万事休。”由数想形，由形想数，利用图形直观展现数学原理，直接引发数学直觉思维，对培养学生的几何直观具有重要意义。

例如，苏教版五年级“解决问题的策略——转化”中有一道非常典型的数列求和题：[]+[]+[]+[]。教学时引导学生观察，寻找数与数之间的联系，学生由算式的结构特征敏锐地感受到后一个数总是前一个数的一半，由此构图（见图2）可知原式=1-[]=[]。经历了这样数与形的转化，学生在遇到类似的数列求和计算时，直觉想到这张正方形图，将复杂的计算变得简单。再比如1+3+5+7这样的连加算式的和可以转化成正方形边长的平方，形成将算式转化成正方形的数学直觉，真正达到“数形结合百般好”的目标。

3.合理猜想，导引数学直觉思维之向

著名数学大师波利亚断言：“要成为一个好的数学家，你必须是一个好的猜想家。”通过对数学问题的情境特征、结构特征、数据特征、图形特征等方面的观察、比较、分析、判断，激发学生合理猜想是培养学生直觉思维的重要方法与途径。

例如，在教学苏教版四年级下册“三角形的内角和”這一内容时，上课伊始，教师开门见山提出问题：“今天我们研究‘三角形的内角和’，看了课题，你有什么疑问？”学生纷纷交流。教师结合学生交流聚焦两个核心问题：三角形内角和是多少度？所有的三角形内角和都相同吗？基于学生的思考，教师引导学生进行猜想：三角形的内角和可能是多少度？你是怎么想的？学生依据自己的直觉对三角形的内角和进行猜想，此时的猜想比较盲目，教师引导：同学们想一想，哪些猜想不够合理？在教师的质疑下，学生重新调整猜想的范围，逐步摒弃诸如90度、360度之类的猜想，猜想范围渐趋合理。接着教师引导学生思考：猜想是否正确？我们可以怎样做？学生基于原有实验探究和规律发现的经验，即刻想到可以举例验证。此时，教师引导学生从熟悉的三角尺入手，计算三角尺三个角的内角和是180度，继而再举例验证“是不是所有三角形的内角和都是180度？”这一问题。

这一课例中，一开始学生的猜想没有经过周密思维，稚嫩无序，这是一种快速、直接、毫无逻辑的直觉反应，但教师的点拨引导让学生调整猜想的方向，由无理到有据，从盲目到清晰，进而由直观猜测到合情推理，与论证逻辑相辅相成。

4.实验验证，诱发数学直觉思维之思

科学研究的方法是“猜想+验证”，它同时也是发明创造的必经之路。基于此，光有猜想的直觉是远远不够的，直觉思维善于抓住问题的本质与关键，但反应往往是模糊、不准确、有偏差的。因此，引导学生对猜想加以验证十分必要，而实验验证是其中重要的方法，经历实验，诱发对问题本质的探究与思考是规避直觉缺陷的有效方法。

例如，学生在学习圆锥体积这一内容时，教师引导学生根据等底等高的圆柱猜想圆锥体积。此时，有学生站起来说：我猜想圆锥体积是等底等高圆柱体积的[]，并说明其猜想的理由：一个长方形以它的一条边为轴旋转一周就得到了圆柱，如果把长方形沿对角线剪开得到一个三角形，再以三角形的一边为轴旋转一周就得到一个圆锥。因为三角形的面积是长方形面积的一半，所以圆锥的体积就是圆柱体积的一半。学生的猜想有理有据，得到了绝大部分同学的认可，大家都觉得一定是[]（见图3）。猜想后，教师引导学生进行实验验证，清晰地看到圆锥体积是等底等高圆柱体积的[]，但学生们仍然很疑惑：到底问题出在哪里？此时学生的思维处于困顿与不解中，如果草草了事，直接以实验结果终结，那么对学生思维能力的培养将大打折扣。此时教师依据学生的疑点采用反证法予以说明：相同的平面图形，经过旋转得到的立体图形体积一定相等吗？借助多媒体动态演示可以发现，图4右上的正方形旋转后得到一个圆环柱，而图4右下的正方形旋转后得到一个圆柱，形状、体积明显都不同。这时引导学生总结：相同的两个平面图形，如果距离旋转轴的远近不同，旋转后形成的立体图形的体积也会不同。在此基础上，继续观察图5两个三角形旋转后的结果：图5中的上、下两个三角形虽然完全相同，但上面三角形的大部分离旋转轴较远，而下面三角形的大部分离旋转轴较近，借助动态演示得到图6的两个立体图形。此时，学生终于明白问题所在。

实验验证之后引发的思考让学生经历平面图形向立体图形发展的过程，理解了平面上的“相等量”在旋转后会生成不等量，学生的空间能力从二维向三维发展。

扎实的“四基”是数学直觉思维形成的源泉，图形结合是数学直觉思维发展的途径，合理猜想与科学验证能增大数学直觉思维的宽度与深度，但数学直觉思维具有尝试的特点，只有将直觉思维与逻辑思维有机地结合起来，相互补充才能相映生辉。♪

【参考文献】

[1]周治金，赵晓川，刘昌.直觉研究述评[J].心理科学进展，2005，13（6）.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]荀步章.儿童数学直觉思维培养实践与思考[J].教育科学论坛，2014（9）.