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非线性方程的抛物线性化二重迭代法

2019-09-10陈娟何斯日古楞

赤峰学院学报·自然科学版 2019年10期
关键词:插值抛物抛物线

陈娟 何斯日古楞

1 引言

许多实际问题的数学模型常常归结为求解非线性方程f(x)=0,最常用的办法是迭代方法,其中Newton法[1]的每步迭代需要计算一次函數值和一次导数值,因此不便用于较复杂的函数.不含导数项的经典迭代法有弦截法[1]和抛物线法[1].弦截法用已知的两步迭代值xk-1,xk求出新的迭代值xk+1,其收敛阶为1.618.抛物线法则用已知的三步迭代值xk-2,xk-1,xk求出新的迭代值xk+1,其收敛阶高于截法,但其计算较复杂,需要处理符号问题.为此,文[2-5]用不同的三点构造抛物插值函数L(x)来近似代替f(x),再在xk处对抛物方程L(x)=0使用一次Newton公式,得到新的近似根xk+1.这种处理手段不需要直接求解二次方程L(x)=0,从而避免了符号处理问题.文献[4]采用黄金分割思想,基于已知的两步迭代值xk-1,xk及黄金分割点在内的三点构造抛物插值多项式,进而用xk点处切线的零点作为新的近似根,构造了一种至少二阶收敛的两点迭代公式.在此基础上,本文利用文献[6]的二重弦截法的思想,构造了一种二重抛物线性化迭代格式

用Matlab软件进行了数值试验,与Newton方法(NT)和文献[6]的迭代格式(P.C.)进行了比较.本文所给格式需要两个初始值x-1,x0,其中初始值x-1=x0-2×10-6,计算过程采用双精度,停止准则采用|xk-xk-1|<10-6,计算结果见表1-表2.表中数值结果表明,在相同条件下本文所给格式的收敛性高于文献[6]所给方法和Newton方法,符合理论分析结果.

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