对《倍数与因数概念》引入方式的思考

楼俊民

摘要：《倍数和因数的概念》在北师大版五年级上册的第31-32页，是第三单元《倍数与因数》的起始。它是在学生学过整数的认识，整数的四则运算等知识的基础上展开学习的。同时，倍数与因数的概念也是以后学习质数和合数，公倍数和公因数等概念的重要基础。对于以何种方式引入因数与倍数的概念，不同版本的教材有着不同的安排。

关键词：倍数;因数;小学数学

一、现行各版本教材的安排

这里选取八套教材：人教版、北师大版、苏教版、西南师大版、青岛版、浙教版。对比分析后发现引入的材料可以分成三类：

从表中可以看出，各版本教材有从乘法算式引入的，有从除法算式引入的，也有折中考虑，同时列出乘法和除法算式来引出因数与倍数概念的。这一方面是由于乘除法之间的互逆关系，无论是乘法算式引入，还是除法算式引入，在本质上都是相通的。另一方面也说明专家对如何引出因数和倍数概念并不統一。不论是乘法算式引入，还是除法算式引入，都有不同的利和弊。在取舍时，出于不同的考量，所以做出不同的安排。

二、下面以北师大版和人教版作为典型对各自的利弊展开分析

（一）北师大版教材的安排

北师大版是这样引入因数和倍数概念的。首先创设两个班同学分别排列成两种队形，算一算两班各有多少人的情境，让学生根据情境写出乘法算式。

接着，结合具体的乘法算式，给出倍数与因数的意义，也就是由9×4=36，可以判断出36是9和4的倍数，9和4是36的因数。把乘数与积的关系转化为倍数与因数的关系。同时，借智慧老人的告知学生“只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。”

然后，对给定的两个算式，判断倍数与因数，说一说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。通过模仿练习，帮助学生正确区分倍数和因数，巩固和掌握倍数与因数的概念。

可以看出，北师大版教材没有从整除的概念出发，而是采用一个乘法算式直接引出“因数”和“倍数”的概念。相对于除法而言，乘法更容易为学生理解，因为用乘法算式，学生就不必通过a能被b整除，来反推出b是a的因数，a是b的倍数，从而大大降低了学生判断因数和倍数的难度。教学用书中提到：“在内容安排上适当降低了知识难度……没有出现整除、互质数、质因数、分解质因数等数学概念”这也能佐证采用乘法算式来揭示倍数与因数的概念，是出于降低难度的考虑。

但是从知识逻辑的角度来看，因数与倍数的概念是在整除的基础上产生的。在整数除法里，如果整数a能被整数b（b≠0）整除，那么a叫作b的倍数，b叫作a的因数。也就是说，从逻辑上来讲整除是产生因数与倍数概念的前提，有了整除，才有了因数和倍数;离开了整除，因数和倍数的概念就好比是空中楼阁，无从谈起。所以，倍数与因数的概念，本身是与整数四则运算有着密切关系的。可以利用学生已有的整除的知识，构建出因数与倍数的概念。北师大版教材在揭示因数和倍数的概念后，借智慧老人以告知的形式规定“在非0自然数的范围内研究倍数和因数”，这里总是让人感到数学不够讲道理。

（二）人教版教材的安排

人教版教材由9个整数除法算式引入。首先通过观察，对算式进行分类。在分类的基础上，概括出其中一类具有“商是整数而没有余数”的共同属性。

然后，结合整除算式12÷2=6，给出因数和倍数的概念。如果12÷2=6，那么12是2和6的倍数，2和6是12的因数。这个过程，虽然没有给出整除的定义，但是确实是由整除的本质过渡到因数和倍数的概念的。接着，回到第一类的除法算式中判断倍数与因数，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。让学生正确区分倍数和因数，同时体会倍数和因数相互依存的关系。

通过对比，可以看出人教版与北师大版的区别主要在引入材料上的不同。学生对整除是有丰富的经验的，在前面整数四则运算的学习中，学生已经积累了大量的整除和有余除法的知识基础和认知经验，对整除的意义已经有了比较清楚的认识，判读一个数能否被另一个数整除是不困难的，几倍的概念也已经存在于学生的头脑中。

对此，笔者倾向于通过唤醒学生原有的知识经验来引入因数和倍数，因为这样更符合学生的认知规律，更有利于因数与倍数概念的建立。有根源的知识，才会生根发芽，成为学生自主建构体系的一部分

参考文献

[1]在比较和发现中探寻数学本质——《倍数和因数》教学新设计.

[2]适时渗透灵活嫁接——《倍数和因数》教学及思考.