从典型错例中谈初中数学运算核心素养的培养

刘俊健

数学运算是数学活动的基本形式，也是学习数学的基础。运算能力是《义务教育课程标准（2011年版）》提出的十个核心概念之一。培养学生的运算核心素养，发展学生的运算能力，不仅是学生学好数学的基础，也是学生终身学习和发展的需要。在教学实践中，笔者发现，有些学生虽然懂得运算方法，但却经常出现运算错误。在每次的大小考试中，学生由于运算方面的问题出错丢分的情况屡见不鲜。本文针对学生运算中出现的一些典型错例，提出在培养学生数学运算核心素养方面的一些教学实践和想法。

一、打好有理数运算的基础，培养良好的数感

有理数运算可以说是代数运算乃至整个初中数学的基础。如果对有理数运算没有很好的理解和掌握，在今后整式、分式、方程等一系列数学问题的学习上都会遇到很大的困难。在有理数的运算中，要注意处理好以下几个问题。

第一，符号问题。正确理解符号法则，区分性质符号和运算符号，是处理符号问题的关键。

错例1   计算：-3-6×（-2）=-3-12=-15

这道题的关键点在于把“-6”中的“-”看成是性质符号还是运算符号的问题。若看作性质符号，则可得到以下过程：-3-6×（-2）=-3+（-6）×（-2）=-3+12=9;若看作运算符号，则可得到以下过程：-3-6×（-2）=-3-（-12）=-3+12=9。笔者认为按前者看作性质符号，同时直接确定更为简洁。即-3-6×（-2）=-3+6×2=-3+12=9.

学生对算式的理解程度不同，会产生不同的解法。例如对于“-3-2”的计算，有的学生会得出“-1”的错误结果，有的学生会根据减法法则化为“-3+（-2）”再得出-5的答案。还有些学生能直接看作-3与-2的和，得出-5的答案。最后一种处理方法对符号理解最为深刻，体现了学生良好的数感，这是对今后认识多项式的项及合并同类项的基础。

第二，运算顺序问题。有理数混合运算的顺序学生都很熟悉，但在实际解题中，往往会受到某些因素的影响，造成运算顺序错误。

错例2   计算：

在这个错例中，学生没有注意到先算乘方，受“负负得正”习惯的影响，先化简了底数的符号。

第三，乘方运算问题。乘方运算是四则运算的补充，本质上是乘法运算。在乘方运算中，要注意强调三点：（1）根据乘方的概念求幂;（2）明确乘方运算的对象，即底数是什么;（3）注意乘方的优先运算顺序。

错例3   计算：

错例4   计算：

错例3中对乘方概念不清，不懂得转化乘法算式求解。错例4把-32看成了（-3）2，说明对负数的整体性认识不足。

有理数的运算能让学生建立起良好的数感，减少运算错误，是提高学生运算素养的关键。

二、牢固掌握运算的依据，加深对算法和算理的理解

數学中的一些概念、法则、公式是进行运算的依据，加深对基本概念、法则、公式的理解，是正确运算的前提。如果对运算的依据理解不够深刻，只是机械地背诵、模仿，很容易产生混乱。

第一，加强对公式的理解。公式是运算方法、技巧的总结。要牢固掌握公式，就要理解公式的产生、推导过程，明白公式的原理，应用的条件和方法，否则就容易产生乱公式，自编公式等错误。

错例 5   计算：（x+2）2-x（x+1）=x2+4-x2-x=4-x

错例6   分解因式：x2-9=（x-3）2

以上两个错例都是很常见的对乘法公式的运用错误。这是对积的乘方公式（ab）n≠anbn的错误迁移。要减少这种错误，可以对比两个公式的推导过程，同时用具体的数字来说明（a+b）2≠a2+b2，如（1+2）2≠12+22。

第二，加深对算理的认识。在数式运算及方程变形中，许多学生只是单纯地记住相关的算法和步骤，却忽略了对算理的理解。数学运算也是一种推理，是根据定义、性质等推导结果的过程。正确的运算需要对算理有透彻的理解，如果学生不理解算理，只是机械记住算法和步骤，很容易在运算中误用法则，并且对不合逻辑的错误结果也浑然不觉。

错例7   计算：

解：原式

=2x-（x-2）

=x+2

错例8   把函数y=2x2-12x-12配成y=a（x-h）2+k的形式。

解：y=2x2-12x-12=x2-6x-6=x2-6x+32-32-6=（x-3）2-15

在错例7的分式计算中，学生一开始就进行了去分母的操作。这些学生记住的是解分式方程去分母的步骤，并没有理解去分母的依据是等式的性质，应用的条件是在方程的同解变形中。而分式的计算只是代数式的恒等变形，不涉及到等号两边的操作。这种错误在很多含有分母的计算中都会出现，错例8中的函数解析式的变形也是常出现的约掉系数公约数的类似错误。

三、培养整体思想，提高整体运算的能力

在运算中，很多时候需要把负数、分数、多项式等看作一个整体。为了构造出相同的整体，或把整体代入运算，都需要合理添加括号。在数学运算过程中，有些局部的运算结果要作为一个整体进入下一步的运算，这个整体就必须加上括号，否则就失去原来的运算意义。以下错例，学生缺乏整体思想，很容易漏掉括号，教师应加强调。

错例9   计算：3（x-2）2-（x+3）（x-3）-2x（x+6）

解：原式=3（x2-4x+4）-x2-9-2x2-12x

=3x2-12x+12-x2-9-2x2-12x

= -24x+3

公式的应用也要求学生有很好的整体思想。例如对（x-1）2-（2x+3）2进行因式分解，缺乏整体思想的学生将不懂得如何下手，或者在运用平方差公式时容易漏掉括号。加强整体思想的培养，能更好地理解整体换元，整体代入等方法，提高学生的整体运算的能力。

四、加强解题方法的指导，培养良好的解题习惯

良好的数学运算素养，应该是在清晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题。这个过程包括理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程度，求得运算结果等。因此，教师要注意培养学生正确的解题思维方式，规范解题的步骤和格式，养成良好的解题习惯。

第一，养成良好的审题习惯。正确的审题，既要细心看清楚每一个条件，还要注意区分相关概念，挖掘隐含条件，弄清已知条件和所求问题之间的联系等。在审题时要明确解题的模式和方向，弄清运算对象。例如“     的平方根是_______”一题，在审题时要注意平方根与算术平方根的区别，同时要注意所求的对象是       而不是16，学生不注意细心审题的话，很容易产生“±4”“4”“2”等错误结果。

第二，步骤要清晰，书写要工整。在运算中，要明确运算的步骤，每一步解决什么问题，哪些运算可以同时进行，哪些需要分步计算。有些学生为了追求速度，喜欢合并或省略一些步骤，很容易造成运算错误。另外，有此学生的书写比较马虎，字迹比较潦草，所写的数学、符号等分辨不清，也容易造成运算的错误。因此，在教学中，教师应要求学生严格按照步骤解题，书写工整，格式规范。

第三，善于检验结果的正确性。对于检验，学生往往理解为再看一遍或重新演算一次，其实这种验算方法是没有多大意义的。有效的检验应该是运用学过的知识从不同的角度对结果真假或合理性做出一个判断。例如因式分解可以利用乘法运算验算，方程的解可以代入验算等。同时，要做到关键步骤回头看的计算习惯，否则一步出错，后面全部跟着出错。善于验证答案的合理性，不仅可以及时发现错误，还在一定程度上體现出解题者对数学问题的理解程度和思维的严密性。

数学运算渗透在数学学习的每一个环节，也是学习其它理科的基础。在教学中培养和提高学生的运算素养，不仅能有效地减少和避免运算中的错误，还能提高学生思维的灵活性和严密性，为学生的终身学习打下良好的基础。