化“非常规”为“常规”

陈爱弟

一、读透教材，收集素材

数学教材不仅是数学课堂教学的主要内容，也为教师提供了教学活动的基本线索和方法。笔者抓住内容的重难点、教学目标、新旧知识的连接点，对求“不规则矿泉水瓶子的体积”进行研读。基于学生已经具有丰富的生活经验和知识基础，教材创设熟悉的生活情境：利用矿泉水瓶中的水求出整个瓶子的体积。这样的图形对学生的原有知识架构具有一定挑战性，也激发学生对这熟悉而非常规的数学问题产生较大的兴趣。教材意在：有意识利用数学的方法解释现实世界中的现象，发现现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题。

二、构思主线，准确定位

教学目标不仅是解决这一具体问题，更重要的是在这一过程中提高学生的问题意识，让学生在探究的过程中理解和掌握转化的思想，体会转化的实质是“变中不变”的数学思想。激发笔者思考以下幾个问题。

思考一：如何准确把握教学内容？

在实现教学的知识与技能目标的同时，把数学思想的渗透进一步融入到课堂中，并成为课堂的“灵魂”。例如在设计“求不规则矿泉水瓶子的体积”时应该根据教学重难点，简明扼要地表述在解决问题的过程中突出转化、推理和变中不变的数学思想。

思考二：如何指导学生自主探究？

教学时，笔者抓住关键点——在瓶子倒置前后用“什么变了，什么不变”来引发学生的积极思考，并让学生动手倒置水瓶，引导学生观察瓶中的变化情况。在学生对瓶中水的部分与空气部分有了形状和体积的变与不变的理解后，继续追问：计算瓶子的容积需要把瓶子转换成什么来求呢？目的是通过“问题—直观—追问”等各种方式来激发学生的“最近发展区”，调动学生学习的积极性，进一步发展学生解决问题的能力。

思考三：如何使学生触类旁通？

学习数学的最终目的是灵活应用数学方法和数学思维解决问题。因此，笔者教学时，致力于让学生亲身经历“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的完整过程，懂得解决“这一类不规则而近似圆柱物体的体积”的实际问题。于是，根据教学目标这一“方向盘”，设计有梯度而循序渐进的练习题能进一步检验学生的掌握程度和应用能力。

三、研讨方法，先学引领

笔者结合学校的小课题研究“如何有效地组织好学生的课前预习”。“课前预习”使学生的问题、疑难得以提前暴露，能最大程度地发挥和提高学生的自学与合作能力，提高课堂效率。而想要突显好课前预习的效果，设计一份有效的《预习提纲》尤为关键。《求不规则矿泉水瓶子的体积》的预习提纲设计，笔者按照“调查—实验—修正”三个环节展开，最后商讨定稿。

（一）调查

第一次设计好《预习提纲》后，组织不同水平的几个学生进行口头测试，测试表明：这些学生对利用“什么方法计算什么图形的体积”缺乏解题思路。另外，解决思路的提示局限了学生的思维发展。

显然，方案一的问题设计不符合学生的知识储备，也不利于发挥学生的独立探究和思维锻炼，必须修改。

（二）实验

第二次研讨，抓住解决问题的突破口——倒置前后，哪些量不变？只有抓住“不变量”，学生就容易找出“等量关系”。于是修正后得出方案二，如下：

讨论定稿后，提前让学生做好预习，课堂反馈针对提纲第1题的作答情况，汇总如下：

从表格数据可见：学生比较容易得到“瓶子的容积与瓶中水”的体积不变，但相当一部分学生容易忽略瓶中“无水部分”即“空气”的体积不变。而关注瓶子外在特点如瓶子的底面半径、直径、底面积和高度这些非本质的东西的学生所占比率较大，甚至有个别学生认为：倒置前后，水的高度不变。这种错误的表象，反映出个别学生缺乏细心的观察和深入的思考。

（三）修正

根据学生存在的问题和内容设计的局限，科组再次讨论，问题的设计关键要让学生明白“倒置前后，瓶中的什么变了，什么不变”这一本质，并理解：计算瓶子的容积可以转化成什么来计算呢？修改得到方案三，如下图：

这一份《预习提纲》较之前两份，思维更开放，能进一步发挥学生的独立探究能力，深入引发学生通过观察发现：倒置前后，水和空气部分的形状是变化的，而水和空气部分的体积又是不变的。有利于把“未知知识（不规则形状的体积）转化为已学知识（规则形状的体积即圆柱形的体积）来解决”。

四、施行预案，有效落实

有效的教学设计，应根据学生的需要，适时提出探究问题，做到难易有度、循序渐进。基于“转化和变中不变”的思想内涵、教材编排及真实学情，笔者从四“巧”进行有效教学。

（一）巧设情境

好的情境设计往往能在短短几分钟就吸引住学生，激发学生的学习动机，充分调动学生的学习兴趣，能唤醒学生的生活经验，渗透数学思想方法。做法如下：

笔者首先简单地复习用排水法求出土豆与西红柿的体积，用捏压法求出橡皮泥的体积。通过回顾旧知，让学生温故而知新，唤醒学生脑海里已有的“转化”方法，即把“不规则物体转化成规则物体的体积计算”。

接着，出示一个空矿泉水瓶，追问：如何求它的体积？目的引发学生大胆地设想解决问题的方法。乘胜追击：没有任何测量工具，只知道直尺、瓶子与瓶子里的一部分水，你还能求出瓶子的体积吗？学生通过一连串地追问，激发学生对问题解决的欲望与兴趣。

（二）巧用预案

利用预习提纲和课前四人小组汇报交流，课堂上学生的思维更加流畅、灵敏。

1.实物操作，直观明了。

要使学生较好地参与几何与图形的新知学习，关键让学生亲身经历实践操作，积累丰富的活动经验。

追问完“瓶子倒置前后，什么变了，什么不变”，接着就让学生进行实物演示，目的让学生边操作边观察发现：水的形状在倒置前是规则的圆柱体，而倒置后变成一个不规则的形状，但水的体积不因为形状的变化而变化。同理，空气的体积在倒置前是一个不规则形状，在倒置后变成一个规则的圆柱体，体积仍然不变。“演示+分析”让学生充分体会“变中不变”数学思想。

2.动画合成，化难为易。

利用多媒体的动画效果，图、文、声并茂，直观、形象地加强学生对“倒置前圆柱形水的体积与倒置后不规则水的体积”和“倒置前不规则空气的体积与倒置后圆柱形空气的体积”两个等量关系的理解。顺势出示：倒置前圆柱形水的体积+倒置后圆柱形空气的体积=拼成新圆柱形的体积，也就是瓶子的容积。

通过“动画合成”的操作演示，不仅可以使静态的教学内容变为动态的画面，也使枯燥抽象的数学知识变得生动具体。重点是把“不规则的瓶子”转化成“两个圆柱体”进行计算，把新学知识的难点分解为已学知识，是开启学生智慧的“魔法棒”。同时，再次加深学生对“转化思想”的理解与应用。

3.全班汇报，强化思路

让学生参与全班汇报，不但有利于学生积极参與教学过程，而且能强化训练学生的语言和思维。根据学生汇报情况可知：大部分学生都能正确计算出倒置前圆柱形水的体积和倒置后圆柱形空气的体积，求出两部分圆柱形的体积和就是求瓶子的容积，但不能完整表述“倒置前与倒置后”这些本质性语言，也就说明：学生在预习过程中，无法正确理解“变中不变”数学思想所蕴藏的“等量关系”。

（三）巧练题型

当堂达标教学中的练习题，既要让学生“熟能生巧”，又要防止学生“熟而生厌”。因此，在设计时，要特别强调教学重点与梯度，做到难易得当，层层推进。

笔者结合本课重难点，设计两道基础题和两道变式题，既检测到学生的掌握程度，又体现出学生灵活运用知识的能力。其中，第三题对中下生来说有一定的难度，采取小组讨论。讨论结果方法多样：有些学生利用解方程先求出底面积，再求出汽水体积;也有个别学生利用分数乘法解决，把汽水体积看成1.5L的二十五分之二十（或五分之四）来求。从学生的当堂测验结果看到：学生能较深刻地理解“转化思想与变中不变的数学思想”，能较灵活地运用所学思想解决这一类问题。

（四）巧妙提升

课末，笔者引领学生进行回顾总结，并介绍生活中这一类型问题，如生病打点滴时输了多少液体等，激发学生思考，并延伸到生活中。

总之，转化这一数学思想方法不管在数学学习上还是在生活上都能广泛应用，实现转化思想的有效渗透，构建高效课堂，要求我们要以生为本，准确定位，打通学生新旧知识之间的“连接点”，使学生学会利用转化思想和变中不变思想，化“非常规问题”为“常规问题”。