基于三个DFT采样值的新型频率估计方法

陈皓 雷艺

摘  要：FMCW雷达通过发送和接收信号的差频信号进行测距，因此，差频信号的频率估计精度将直接影响到测距精度。本文通过进行详细的数学推导，提出了一种基于三个DFT采样值的新型频率估计方法，用于提高调频连续波（FMCW）雷达的测距精度。仿真证明，新方法无论在无噪声条件下还是在高斯噪声影响下，相比传统频率估计方法均有性能提升。同时由于新方法只需要三个DFT采样值，而且无须进行数据加窗处理，在计算复杂度上相比传统方法也有明显改善。

关键词：频率估计;离散傅里叶变换（DFT）;测距精度

中图分类号：TN958.1      文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2019）13-0059-04

A Novel Frequency Estimator Based on Three DFT Samples

CHEN Hao1，LEI Yi2

（1.Aperture Array and Space Exploration Key Laboratory of Anhui Province，The 38th Research Institute of China Electronics Technology Group Corporation，Hefei  230088，China;2.School of Computer Science and Information Engineering，Hefei University of Technology，Hefei  230601，China）

Abstract：To determining distance，frequency-modulated continuous-wave （FMCW） radars need to estimate the frequency difference between the transmitted signal and the received echo signal. Therefore，the accuracy of the estimated frequency will have a direct impact on the range accuracy. In this paper，a new frequency estimation method based on three DFT sampled values is proposed to improve the ranging accuracy of FMCW radar through detailed mathematical derivation. The simulation results show that，compared to conventional methods，the performance of the proposed estimator has been improved in both noiseless scenario and Gaussian white noise scenario. Because it only needs three DFT samples and doesn’t need windowing technique，comparing with traditional methods，the computational complexity is also improved significantly.

Keywords：frequency estimation;discrete fourier transform（DFT）;range accuracy

0  引  言

FMCW雷達不同于脉冲雷达，发射和接收均为连续波。FMCW雷达收发同时，理论上不存在脉冲雷达遇到的测距盲区，而且在体积和功耗上优势明显，目前在军事雷达以及民用雷达上都得到了广泛使用。FMCW雷达发射频率随时间变化的连续波，电磁波经物体反射，反射信号与发送信号有一定的频差。由于信号的频率变化已知，因此可以通过发送和接收信号的差频频率计算待测物体的距离。

差频信号频率的测量精度直接决定了测距的精度，因此如何对含有噪声的信号进行精确的频率估计成为学术界和工业界研究的重点。频率估计算法中，最简单有效的一种途径是离散傅里叶变换（DFT），对时域采样信号直接进行离散傅里叶变换即可得到信号的频谱信息。但是DFT会引入两种误差：一是DFT的栅栏效应，DFT的结果是信号频域的采样值，采样点很难恰好落在待测频率处;二是负频谱泄漏，实数信号的频谱既包含正频谱也包含负频谱，正负频谱叠加后的总频谱最大值与信号的真实频率会出现偏差。

为了解决DFT带来的栅栏效应，许多频率估计算法被提出。在文献[1]中，作者提出了一种两阶段频率估计方法，第一阶段寻找到DFT结果的最大值，对频率进行粗估计，第二阶段通过对DFT结果最大谱线和附近谱线的信息进行处理，计算出更为精确的频率峰值。为了使第二阶段的精细估计更为简单有效，文献[2]-[5]提出了多种方法，这些方法只使用DFT最大谱线和相邻两个谱线的信息，计算量小且估计结果较为精确。然而这些方法只对复指数信号有效，因为它们没有考虑到实数信号的负频谱泄漏问题。解决负频谱泄漏问题的最直接有效的方法是使用窗函数来抑制负频谱对正频谱的干扰[6，7]。在文献[8]中，对于不同类型的窗函数，作者提出了一种通用的频率估计方法。加窗方法虽然能抑制负频谱干扰，但是以增大频谱主瓣宽度和牺牲信噪比为代价的，这会导致雷达测距的分辨率降低，测量精度也因信噪比的降低而有所下降。

本文提出了一种新型频率估计方法，综合考虑DFT的栅栏效应和负频谱泄漏问题，只使用DFT结果的三个谱线值，且不需要窗函数。相比现有方法，新方法的频率估计精度有明显提高，同时由于避免了加窗处理，计算复杂度也更低。

1  频率估计原理

具体算法流程如表1所示。本文提出的方法只需要DFT结果的三个采样点即可估计出待测频率值，而且不需要进行加窗处理，下节将通过仿真证明本方法的优越性。

2  仿真比较

论文把提出的新方法和Candon算法[5]以及部分常用的加窗方法[8]进行了仿真比较。其中Candon算法是一种针对复数信号进行频率估计的常用方法，加窗方法中用到的窗函数包括Hamming窗、Hann窗和Blackman窗。仿真中的所有方法均基于DFT的三个采样值。在进行比较的方法中，Candon算法和本文中所提出的算法复杂度较低，因为这两种算法不需要进行加窗处理。

仿真实验中，信号的采样速率设定为200kHz，由于奈奎斯特采样定理的限制，被测频率不能超过100kHz。仿真中待测频率变化范围为40kHz～48kHz，对每个频率值都进行10000组仿真，而且10000组信号的相位在均在[0，2pi）之间随机变化，采样点数N=64。无噪声情况下不同方法进行频率估计的结果如图1所示，从图中可以看出，相比另外几种算法，本文所提出的方法的误差最小。为了证明此结论在不同采样点数情况下依然成立，本文在N=128时也进行了仿真比较，结果如图2所示，本文提出算法的误差也是最小的。

当待测频率较小时，采用窗函数的频率估计方法效果较差，这是因为加窗处理会导致频谱的主瓣宽度变大，待测频率较小时正负频率的主瓣会互相干扰。论文比较了待测频率在3.5kHz～6kHz范围变化时各算法的效果。信号的采样速率设定为200kHz，采样点数N=64，3.5kHz～6kHz的待测频率在设定的采样速率和采样点数下，正负频谱的主瓣会产生干扰。图3为仿真结果，从图中可以看出，在待测频率小于4.5kHz时，加窗算法性能显著恶化，本文所提出的算法优势明显。

前面的仿真均为无噪声的理想情形，论文进而继续研究了有噪声情况下各算法的误差情况。仿真实验中，待测频率设定为42kHz，信噪比SNR的变化范围为-10dB～80dB，信号的采样速率设定为200kHz，采样点数N=64。仿真结果如图4所示。

从图中可以看出，在信噪比足够高时，本文所提出的算法的优势明显。这是因为高信噪比时，均方根误差（RMSE）主要是由算法误差带来的。但是在中等信噪比时，各算法的差别并不明显，这是由于此时的RMSE是由信噪比决定的。论文进而研究了中等信噪比下不同方法的频率估计效果。实验中SNR设定为20dB，待测频率变化范围为40kHz-48kHz，信号的采样速率设定为200kHz，采样点数N=64。仿真结果如图5所示，从图中可以看出本文提出方法和Candon算法相比加窗算法效果更好，因为窗函数会导致信噪比的损失。

3  结  论

为了提高FMCW雷达测距精度，本文提出了一种新型频率估计方法。新方法只需要DFT三个采样值即可精确对待测频率值进行估计，而且不需要进行加窗处理。相比现有的频率估计方法，本文提出的方法无噪声且有更小的估计误差。在高斯噪声影响下，新方法在不同信噪比情况下较传统方法均能表现出更加精确的频率估计性能。

参考文献：

[1] Trees H. L. V. Detection，Estimation，and Modulation Theory （Part I） [M].New York：Wiley，1971.

[2] Quinn B. G. Estimating frequency by interpolation using fourier coefficients [J].IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42（5）：1264-1268.

[3] Macleod M. D. Fast nearly ML estimation of the parameters of real or complex single tones or resolved multiple tones [J].IEEE Transactions on Signal Processing，1998，46（1）：141-148.

[4] Jacobsen E，Kootsookos P. Fast，accurate frequency estimators [J].IEEE Signal Processing Magazine，2007，24（3）：124-126.

[5] Candan C. A Method For Fine Resolution Frequency Estimation From Three DFT Samples [J].IEEE Signal Process Letters，2011，18（6）：351–354.

[6] Belega D，Petri D，Dallet D. Frequency estimation of a sinusoidal signal via a three-point interpolated dft method with high image component interference rejection capability [J].Digital Signal Processing，2014，24：162-169.

[7] Belega D，Petri D. Sine-wave parameter estimation by interpolated dft method based on new cosine windows with high interference rejection capability [J].Digital Signal Processing，2014，33：60-70.

[8] Candan C. A method for fine resolution frequency estimation from three dft samples [J].IEEE Signal Processing Letters，2011，18（6）：351-354.

[9] Porat B. A Course in Digital Signal Processing [M].New York：John Wiley & Sons，1996.

作者簡介：陈皓（1989.01-），男，汉族，安徽颍上人，工

程师，博士，研究方向：雷达系统设计;雷艺（1990.12-），女，汉族，重庆忠县人，讲师，博士，研究方向：光纤无线融合、MIMO、信道编码。