山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村

佘海艳

2019年高考全国Ⅰ卷理科数学卷整体设计灵活，注重对学生数学思维的考查和应用能力的培养。在试题排列顺序上，依然是由易到难，循序渐进，但是主观题的难易程度和顺序也做出了一定的调整，打破了过去将函数与导数作为压轴题的惯例，最后一个选做题也着重考查了消元的数学思想方法和数学运算，这样有助于考查考生灵活应变的能力，有助于学生在全面掌握和学习重点知识的前提下，综合考查应用能力和数学思维方法，特别注重考查数学抽象和数学应用的学科素养。本套试卷设置的情境真实，贴近生活，而且有深厚的文化底蕴，体现了数学的方法和思想在解决问题中的价值和作用，促进了对学生的素质教育和全面发展的要求。考完就有学生讨论极坐标与参数方程的计算问题，下面就第22题选做题谈谈笔者的几种做法和思考。

22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程

为（t为参数）。以坐标原点为极点，将轴正半轴作为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程为。

（1）求和的直角坐标方程;（2）求上的点到距离的最小值。

试题分析：本题注重考查对曲线的参数方程的理解和转化，看到已知条件学生不能很快计算出来，原因是对消元和方程的思想理解不到位，感觉无从下手，导致失分。我们可以通过参数方程的结构特征联想到圆锥曲线的结构都有平方，则想到两边平方消元，或者通过类比三角函数的万能公式想到三角消元，先观察式子变形，说不定就会有柳暗花明，眼前一亮的灵感。

解法一：平方消元法

解：（1）因为，先得到的范围，且，所以C的直角坐标方程为.的直角坐标方程为.

解法二：分离常数，代入消元法

解：（1）观察两个等式的结构特征，分母相同，可以先将分离常数，再两式相除得到，代入消元如下：，

将代入参数方程，化简可得

解法三：分离常数，平方消元法

解：同解法二，可得观察的形式，可以变形为两边平方，化简可得

拓展延伸：由完全平方公式可以联想到为常数，所以将式变形为，再将得，这两式平方作差，化简可得

解法四：三角消元法

解：通过观察参数方程的结构特点，分子与分母都有平方，类比圆锥曲线的万能公式，可以进行弦化切，用三角消元法，可以设，并由万能公式可得，，则由三角换元可得，所以C的直角坐标方程为。

反思总结：对于参数方程的消元法，其实在选修4-4教材第25页例3和例4方程的互化中就有要求，因此在实践教学中，我们应该回归教材，引导学生理解消元的原理并掌握数学思想方法，例如：求参数方程为（t为参数）的曲线C的普通方程。消元法是高中数学学习的一个重要思维方法，在本节课后习题4，也主要强化训练了消元的思想，进行直角坐标方程与参数方程的互相转化，特别要注意变量的取值范围，这也是学生的易错点。本题解析如下：解：∵参数方程为（t为参数），∴，代入第二个等式，得y=1-2（x-1）=-2x+3，（）即，（）。

以此类推，求双曲线和抛物线的參数方程也可以通过消元法得到普通方程，那么能否得到一种通用的参数方程表示圆锥曲线呢？如果能让学生总结一些通法，对于学生的理解和知识迁移有很大帮助，能更好地培养数学应用能力。

接下来看第（2）问，由（1）可设C的参数方程为（为参数，-π-π）。

C上的点到的距离为。当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为。

试题分析：第（2）问主要考查椭圆的参数方程的应用，可以借助草图先形成大概印象，再用解析几何的方法表示成三角函数，很快求出距离、弦长或面积的最值。在近几年的高考题中除了参数方程转化为三角函数求最值还考查用极坐标方程，求得曲线与直线交点的极坐标，由极径的概念将弦长转化为三角函数的最大值问题，也是这种问题的变式，具体以一个高考题为例。

变式 （2015高考新课标Ⅱ） 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线.

（Ⅰ）.求与交点的直角坐标;

（Ⅱ）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值。

解：（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中。因此得到极坐标为，的极坐标为。所以，当时，取得最大值为4。

反思总结：主要考查极坐标方程和直角坐标方程的转化和转化化归的思想求三角函数的最值。先将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，再联立方程组求交点的直角坐标，第2问分别联立与和与的极坐标方程，可以求得，的极坐标，再由两点间举例公式将表示，从而可以把距离问题转化为三角函数的最大值问题处理，近几年的高考试题很重视对极坐标和极径概念的理解，建议复习时要避免把所有的已知条件都化为直角坐标，学生也很容易忽略变量范围。这道选做题也给我们教师教学提供了参考和启示，平时课堂教学要回归教材，掌握通性通法，引导学生学会分析问题，解决问题，提高数学运算的技巧和能力，将不熟悉的形式灵活转换为熟悉的结构形式，从而能很好地应用数学思维解决问题。