初高中衔接之绝对值的教与思

宋彦锋

绝对值衔接起初中与高中数学，是高中数学中非常重要的内容。初中要求学生理解绝对值的含义以及简单的计算，相对容易;到了高中，绝对值的考查常常与函数、方程、不等式联系在一起，对于刚刚踏入高中校门的学生来说，学习难度还是比较大的。这一部分若没有专门专项的讲解和练习，直接和函数结合做题往往会打击学生学习的积极性，对整个高中数学的学习产生畏难心理。为了更好地实现初高中的衔接，本校教师编著了《初高中衔接教材》，并将绝对值作为第一讲《数与式的运算》的第一部分内容，利用暑假的时间，通过YY课堂和微信公众号，专讲专练，激发兴趣、增强信心，使高一新生尽快适应高中的数学学习，同时提升解题能力，培养良好的数学素养。本文以《绝对值》一课为例，谈谈作者在衔接教学中的点滴感悟。

一、复习绝对值的意义，实现数学语言的衔接

高中阶段的数学概念、符号很多，有些也比较抽象，在衔接教学中培养学生对数学语言的识别和理解能力至关重要。因此，数学语言的衔接是整个衔接过程的第一步，将绝对值的代数意义的文字语言归纳为符号语言，即

这既体现了分类与整合的数学思想，同时也突出了解决绝对值问题的关键：去绝对值，将含有绝对值问题转化为不含绝对值的问题。绝对值的几何意义即一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。如，表示数轴上表示数的点到原点的距离，即

同样类比可得表示在数轴上数和数之间的距离。

二、各项突破，实现数学内容和方法的衔接

高中数学教材人教A版选修4-5是不等式选讲部分，第一章的第二节的内容即为绝对值不等式，除此之外，高中课本中并没有对绝对值问题专门的研究和探讨，但含绝对值的方程、函数、不等式在高中学习中仍是经常出现的考点，作为数学学习的基础，在衔接教学过程中，从简单的函数和方程入手，重点强调含绝对值问题的解决办法，实现内容的衔接以及核心素养的培养。

1.含一个绝对值问题

例1：探究：与的区别与联系

（1）列表，分别画出两个函数图像

（2）观察图像，说明区别与联系

教师引导：步骤一：分别观察和时两个函数的图像;

步骤二：联系绝对值的含义，将用函数表达式表示，进而可以通过函数的对称性画出图形.

变式1：画出函数的图像

变式2：解不等式

变式3：解不等式

教学过程中发现，通过对上述题目的数、形的分析，能够不断加深学生对绝对值的理解，在例题和变式中渗透着几种解决绝对值问题的方法：分类讨论法、几何意义法（以变式2为例，通过数轴寻求大于等于2的数的集合）、数形结合法，在教学过程中引导学生总结绝对值不等式问题的规律方法，即

2.含两个绝对值问题

例2：解不等式 。

含两个绝对值问题是高中选做题目的热门考点，常常和参数联系在一起考查，刚刚入校的高中生看到此类问题一定会无从下手，在教学过程中发现，经过例1和变式题的讲解以后，一些同学看到题目后可以尝试找到一些思路，想到分类讨论，但究竟如何解决此类题目，还需要教师在教学中给出解题思路和详细的解题步骤，便于学生归纳总结此类题型.

解法一：由得;由得

当时 ，，所以 ，故.

当 ，恒成立，所以.

当时，，所以，故.

综上，不等式的解集为.

解法二：

设，由解法一可得，

由此的图像如图所示;

由图像在下方时

因此，不等式的解集为

对于解法一，引导学生找到与比较大小的两个数1和2，然后分，，三种情况进行讨论，最后根据分段情况去绝对值求的范围.这是需要掌握的常规方法，在教学过程中不断将分类讨论的数学思想渗透给学生，实现内容和方法的衔接教学;对于解法二，是将绝对值问题转化为分段函数的问题，通过函数图像解决问题，这是函数思想、数形结合思想的体现。

变式4：解不等式。

点评：鼓励学生仿照例题2的解题步骤完成，自我总結解题步骤.这种题目规律性是比较强，教学中也发现学生基本都可以独立完成。

变式5：对所有的实数都成立，求的取值范围。

变式6：已知关于的不等式有解，求的取值范围。

点评：变式5和6引进参数，求参数的取值范围，这类问题是重点也是难点，这就需要引导学生掌握通过等价转化，利用函数的最值来解决问题。

三、绝对值问题的教与思

每个高中生都是怀着信心和梦想踏入高中校门的，在衔接过程中兴趣和习惯的养成至关重要。进行衔接教学之前，笔者与同僚首先了解到初高中课标的不同要求，制定适合本校学生的衔接教材，在假期以及开学之初进行专门讲评，精心的备课以外，深入了解学生的学生习惯。从学生的角度考虑该怎样“教”，不断引导学生养成课前预习、学会听课、及时复习、系统小结的好习惯。在教学过程中重视不断渗透贯穿高中的基本数学思想，如，数形结合、函数、分类讨论、等价转化等，教育不只是要学生模仿，更多是传授思路和方法。总之，如何做好初高中教学，是一个需要不断创新和研究的课题，让学生学得轻松，更快实现我们的共同目标。