立足课本，培养学生思维能力

吴桂鹏

【摘要】本文紧紧围绕“在数学学习中，如何立足课本，培养学生思维的发散性、灵活性、创造性”进行论述，以激发学生的数学学习兴趣，让学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯。

【关健词】例题;专栏;习题;思维

例题是教材的重要组成部分，是学生掌握教材中基础知识、基本技能的重要来源，也是老师传授知识的纽带，它蕴含着丰富的教学功能，处理好例题的教学，对教学质量的提高、学生智力的发展、思维品质的培养都至关重要。课本中的“探究、思考、提示、问题”专栏以及习题，是为了让学生形成积极主动、形式多样的学习方式进一步创造条件，以激发学生的数学学习兴趣，让学生在学习过程中养成独立思考、积极探索的习惯。基于此，本文对在数学学习中如何立足课本作了系列探讨。

一、例题教学培养学生的发散性思维

数学是一个具有内在联系的有机整体，各不同分支、不同部分，都是相互联系、相互渗透的。在课本例题的学习过程中，应该冲破课本解法的定势思维，多层次、多维度分析，使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸，培养学生的发散性思维。

此解法是教材的解法，在教学中让学生仔细体会两个动点之间的关系，建立两个动点坐标间的线性关系，利用坐标代换得到所求动点的轨迹方程。这种解法体现了转化的数学思想，值得师生共同回味。此时进一步追问：是否有其它解法呢？

分析：引导学生利用圆的标准方程转化参数方程，并将所求动点的坐标用参数来表示，通过消去参数得到所求动点的轨迹方程。

这种解法让学生看到了利用参数方程解题的简洁性。 除了利用“参数法”进行求解，我们还可以构建一个变动的三角形，在变动中寻找不变化的几何量，利用圆的定义得到所求动点的轨迹方程。

引导学生对课本例题的再思考，不仅可以通过少量的问题去沟通各部分知识间的联系，拓宽解题的思路，而且有利于培养学生创新精神。

又如：普通高中课程实验教科书《数学·必修①·人教A版》第三章第二节例4：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0 ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率。下面是1950～1959年我国人口数据资料。

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率，用马尔萨斯人口增长模型建立我国这一时期的具体人口增长模型，并验证所得的模型参数提取与实际人口数据是否相符？

（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？

我设计了下面的问题让学生独立探索：

（1）本例中所涉及的数量关系有哪些？

（2）描述所涉及数量关系的函数模型是否是确定的？确定这种模型需要几个因素？

（3）根据表中的数据如何确定函数模型？

（4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应如何作出评价？

（5）如何根据所确定的函数模型具体预测我国某个时期的人口数？实质是何种计算方法？

问题一提出，学生兴趣盎然，个个跃跃欲试。通过利用计算器作出函数的图象，并由表中數据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合度。

学生通过积极思考、主动参与、认真观察分析所给的图象，按问题和探索步骤逐步思考、分析、讨论、解答、交流。学生的读图能力得到了提高，理解到表格是函数对应关系的一种重要表现形式。通过对例题的深层次探索，学生学会了解决问题的方法方式，掌握了正确的思维习惯，综合素质也不知不觉得到了提高。

二、“探究、思考、提示、问题”专栏，激发学生的思维兴趣

《新课标》倡导积极主动、勇于探索的学习方式，要求学生通过自主探索、主动学习而获得知识，鼓励学生积极参与学习全过程。为了体现这一新理念，教材中设有“探究、思考、提示、问题”专栏，往往能提出击中要害的关键问题。

例如：在教学“圆的一般方程”时，先是利用课本中的“探究”专栏，方程“x2+y2+Dx+Ey+F=0”在什么条件下表示椭圆？让学生进行讨论并探索结论。因为有了课本中的思考题：“x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形？”作基础，学生都能动手配方变形后展开讨论，迫使学生进一步探索得出结果，教学中的难点也得到解决。像这样的专栏，每个章节都有，同学们分组讨论、交流、合作、归纳，共同展示探索成果，取长补短，共同提高。在探究过程中，能充分调动学生参与的积极性，激发学生的思维兴趣，让学生养成了主动学习的良好习惯。

又如：在完成“简单的线性规划问题”的教学任务后，安排学生学习“阅读与思考”的内容，题目如下：

课本提供了一种错误的解法：联立①②这两个不等试，用类似于解二元一次方程组的方法分别求出x和y的范围，然后直接代入后面的式子求范围，即：

错解原因：忽略了x和y的相互制约关系，所得出的取值范围比实际的范围要大。

这种解法整体上保持了x和y的相互制约关系，因而得出的范围是准确的。看到了学生的学习热情，我又组织学生探究这样一个问题：能否利用本节的内容求解？

这种解法能清晰让学生知道x和y之间存在着相互制约关系，图解法是解决线性规划问题有效的方法，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关健。

三、高效使用习题，提高学生的思维能力

学生在做习题时，我坚持做到：学生能够说的，教师不说;学生能做的，教师不做;学生能想到的，教师不提醒。由学生先讲，先做，在小组讨论中让学生阐述自己的观点。比如在教学“圆的一般方程”时，教完例题后，我让学生做课本的B组题：等腰三角形的顶点A的坐标是（4，2），底边一个端点B的坐标是（3，5），求另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形？此题先让学生独立完成，并指名让学生在黑板上表演。经观察，大部分学生为自己的胜利而感到高兴，沾沾自喜。90%的学生求出的方程是“（x-4）2+（y-2）2=10”，而忽视了题目的隐含条件：“C与B不能重合，C与B关于A的对称点也不能重合。”有七、八位思维严密的同学不同意以上的解法，经过自己的验证，他们认为这种做法是有问题的，题中还有隐含条件，经过这些同学的适时点拔、补充、解答，此时同学们才恍然大悟。接着让学生独立完善解题后，自己总结出求轨迹方程的解题步骤。由于学生参与解题的全过程，对出现错误的印象非常深刻，这样的教训是刻骨铭心的。这种做法，让学生经历活动的全过程，让学生不断完善认知结构的过程，真正让学生参与学习的全过程。同学们在积极的探索中不知不觉地学到了知识，提高了学习能力，流露出探索成功的喜悦。

课本是教学之本，深挖教材的潜力，充分发挥教材的自身作用，处理好课本的例、习题以及“探究、思考、提示、问题”专栏的教学十分重要;吃透课本知识，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。