3.1直线倾斜角与斜率 3.1.1倾斜角与斜率

曾丽洁

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2019）16-171-03

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【教材依据】本节教学设计来源于人教A版数学必修2第三章第一节第一课时倾斜角与斜率。

一、设计思路

1.指导思想

课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学中，创设问题情境，激发学生主动发现问题、解决问题，并充分调动学生学习的积极主动性；有效地渗透数学的思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学指导思想。

2.教材分析

直线的倾斜角和斜率，是解析几何的重要概念之一，也是直线的重要几何要素。学生在原有的对直线的有关性质及平面向量的相关知识理解的基础上，重新以坐标化（即解析化）的方式，来研究直线的相关性质。而本节课的直线的倾斜角和斜率，是直线的重要的几何性质，是研究直线的方程形式，直线的位置关系等的思维起点。另外，本节也初步向学生渗透解析几何的基本思想和基本方法。因此，本节课的有着开启全章，奠定基调，渗透方法，明確方向，承前启后的作用。

3.学情分析

我校属于肇庆市重点中学，本节课的教学对象为高二年级平行班的学生，经过高一一年的学习，他们的学习目标更明确，对数学的学习变得更有热情，但数学基础欠扎实，学生的反应速度较慢。根据以上特点，教师讲解时要放慢步骤，多加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析、解决问题，给学生以成功的体验。

4.教学目标

（1）知识与技能：

①理解直线倾斜角和斜率的概念；②掌握过两点的直线斜率公式及其应用。

（2）过程与方法：

①在平面直角坐标系中，观察具体图形，并结合几何画板动态演示，在探索以及描述直线的倾斜程度的几何要素中，抽象出直线倾斜角的概念，明确倾斜角的取值范围。

②借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”问题，引出并描述直线倾斜程度的直线斜率的概念，经历用代数方法去刻画直线斜率的过程，明确倾斜角与斜率之间的关系。

（3）情感、态度与价值观

学生通过自主探究、合作学习及互相交流，增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生以成功的体验，并强化学生的主体参与意识。

（4）现代教学手段的运用

充分利用学校配备的多媒体平台，实物投影仪，投影仪用于展示学生的学习成果。

5.教学重点、难点

重点：理解直线倾斜角和斜率的概念，及过两点的直线斜率的公式。

难点：利用斜率解决实际问题。

二、教学准备

（1）教学方法：观察发现、启发引导、探索实验等相结合的教学方法。启发引导学生积极地思考，并对学生的思维进行调控，使学生优化思维的过程；在此基础上，通过学生的交流与合作，从而扩展自已的数学知识和使用数学知识及数学工具的能力，实现自觉地、主动地、积极地学习。

（2）教学手段：通过学生主动构建、自主解决问题，充分发挥学生的主体地位，真正体现以人为本的教育理念。通过操作运用《几何画板》软件进行数据处理、分析等，实现师生、生生间的互动，也反映了新的信息手段对课堂教学的深远影响。

（3）教学工具：白板、几何画板等。

三、教学过程

（一）创设情境，揭示课题

【思考】：哪些条件可以确定平面直角坐标系内的一条直线的位置呢？

[设计意图]：“思维从疑问开始”，通过创设情境，激发学生的求知欲，使学生处于“愤”“悱”的状态，此时需要教师适当“启”“发”引导学生理解确定直线的条件。

[学生活动]：学生自主思考，并分组讨论，派代表回答讨论的结果。确定直线位置可有两种方式：（1）已知直线上两点；（2）已知直线上一点，和直线的倾斜程度。

【问题1】：如何描述直线的倾斜程度呢？什么是直线的倾斜角呢？它的范围如何？

[设计意图]：通过让学生观察讨论图形，理解直线倾斜角的定义。

数学概念来刻画事物时，讲求统一美与简洁美，如何用数学语言准确描述这个角呢？（揭示课题）

1、倾斜角的定义：

在平面直角坐标系中，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，轴正向与直线l向上方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角。

规定：（1）当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0.

（2）形成倾斜角的范围：0≤α<180.

这样平面直角坐标系中，每条直线都有唯一确定的倾斜角α与它对应。倾斜程度相同的直线，它们的倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，它们的倾斜角不相等。以上从“形”的角度，定义了一个用倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

（二）巩固旧知，同化新知

【问题2】：生活中，我们都有过爬山、爬坡的体验。对于斜坡的倾斜程度，我们可以用什么量来反映？（坡角与坡度）初中对坡度是如何定义的？

[设计意图]：采用发现法，引导学生发现斜率的定义及必要性。

[学生活动]：互相讨论日常生活中的爬山坡的坡度大小，得结论。

坡度（比）

2. 斜率的定义：

我们把倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值，叫做这条直线的斜率（即k=tanα（a≠90°）。

【问题3】：（运用几何画板）当α∈[0°，180°]变化时，斜率k如何变化？

[设计意图]：培养学生观察概括问题的能力，分类讨论思想的应用，并培养学生思维的严谨性及科学性，体现数形结合的思想。

[学生活动]：通过直观图像来研究，分组讨论并派代表回答讨论的结果。

老师总结：

（三）师生互动，导出两点的斜率公式

【问题4】：在平面直角坐标系中，已知直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1≠x2，能否用P1、P2坐标，来表示直线斜率k？

思路分析：根据斜率的定义解决问题，因此首先要构造直角三角形。

[设计意图]：使学生明确已知直线上两点的坐标，用求其斜率的方法；体会构造的过程以及渗透化归的数学思想，向学生展现数学的和谐与对称美。

[学生活动]：学生通过讨论过两点的直线斜率公式的推导思想，完成推导过程。随意在坐标系下画两点P1、P2及直线P1P2，探究各种图形并尝试推导，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。

3.两点的斜率公式：

经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式是：k=

【思考】：（1）（运用几何画板）各种一般情形得出的结论一致吗？和P1、P2这两点坐标的顺序有关吗？

（2）当直线垂直于x轴或y軸时，上述结论适用吗？

（3）斜率公式使用时，应注意什么问题？

（四）例题巩固（运用白板）

例1：已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角，还是锐角？

分析：kAB= ，其倾斜角为锐角；kBC=- ，其倾斜角为钝角；kAC=1，其倾斜角为锐角。

（1）一般结论：

当k=tanα<0时，其倾斜角α是钝角；当k=tanα>0时，其倾斜角α是锐角；当k=tanα=0时，其倾斜角α为0°.

（2）利用斜率公式，求直线的斜率时应注意：运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线与x轴不垂直。因为当直线，与x轴垂直时，斜率是不存在的。

变式：在△ABC中，已知A（1，-1），B（1，1），C（3，-1），求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角，还是钝角，或直角？

分析：因为A、B两点的横坐标相同，所以直线AB垂直于x轴，倾斜角为90°，即倾斜角为直角，斜率为不存在。因为A，C两点纵坐标相同，所以直线AC平行于x轴，即垂直于y轴，斜率为0，倾斜角为0°，既不是钝角，也不是锐角和直角。B，C两点横坐标不相同，纵坐标也不相同，由tanα= =-1，所以直线BC的斜率为-1，倾斜角为135°，即倾斜角为钝角。

[设计意图]：巩固本课时里所学的基本知识。

[学生活动]：投影学生答题结果，然后讲解。

例2：在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1、-1、2，及-3的直线l1、l2、l3及l4。

分析：要画出经过原点的直线，只要再找出l1上的另外一点M，而M的坐标，可以根据直线l1的斜率确定。

[设计意图]：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用，以及数形结合思想。

[学生活动]：小组内合作完成，并投影小组答题结果，然后讲解。

【例3】（1）若三点A（-2，3），B（3，-2），C ，m共线，则m的值为 。

[设计意图]：让学生进一步加深，对本课时所学的基本知识的理解。

[学生活动]：投影学生答题结果，然后讲解。

（五）强化理解，课堂达标

（1）下列说法正确的是（ ）

A.一条直线和x轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角

B.直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤180°

C.任何一条直线都有斜率

D.任何一条直线都有倾斜角

（2）已知经过两点（5，m）和（m，8）的直线的斜率等于1，则m的值是 。

（3）已知三点A（a，2），B（3，7），C（-2，-9a）在同一条直线上，则实数a的值为 。

（4）已知A（m，-m+3），B（2，m-1），C（-1，4），直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值。

[学生活动]：学生展示，把有问题的写到导学案上，反馈问题。

（六）形成知识结构，课堂小结

1、直线的倾斜角与斜率的定义、范围及两点的斜率公式；

2、构造直角三角形，将斜化为直，是化归思想的体现。

3、数形结合的思想；

（七）布置作业

思考：已知直线l过点P（-1，2），且与以A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是 .

（八）板书设计

四、教学反思

本教学设计先后进行了两次磨课，根据实际教学情况，对教学设计做了几次修改，而得到的终稿。本节课是为2018年10月根据终稿在数学科组内开展的一节公开课。学生通过对本节课的学习，能很好地去理解直线的倾斜角和斜率的概念，同时也能理解倾斜角与斜率是分别从几何以及代数两个不同的角度，来刻画直线的倾斜程度。从而让学生理解解析几何中，将几何问题转化为代数问题，并进行研究的数学思想，并能在之后的学习中逐步利用这种思想来研究解析几何问题。教学中紧紧地把倾斜角与斜率概念的得出，作为重点内容，并强调学生在得到概念这一过程中的积极参与、主动探索。通过设计一些具有思考价值的问题，引导学生的思考步步深入，最后概念在头脑中呼之欲出，从而让学生感受到得出概念这一过程是自然的，是非常清楚的，是水到渠成的。本节课课堂气氛较活跃，学生的参与度强，并充分发挥了学生的主观能动性，重难点较突出，教学目标明确，同行认可度高，是一节成功的概念课。