例说新课程理念下高中数学变式作业设计问题
2019-09-10宫兴荣
宫兴荣
[摘 要：所谓变式作业，是指对课堂教学中的内容和例题进行有目的、有计划的一种延伸，是提高高中数学成绩最有效的作业方式之一。变式作业作为一种传统的数学作业设计方式，已为广大数学教师所熟悉，传统的变式作业一般以“一题多变”或者“一题多解”的形式出现，因其能够很好地训练学生思维的灵活性和发散性，历来为广大一线教师所青睐。
关键词：新课程;数学作业;变式设计]
变式作业就是以学生课堂上所学的知识和例题为基础，紧密围绕课堂教学目标开展的活动，通过改变例题中的条件或者结论而重新编制的新题目作为学生的课后作业。变式作业主要是为了强化对知识的理解，提高对概念的理解、推理论证、抽象概括、空间想象、运算能力、数据处理等能力。下面以笔者教学过程中的两个案例为例说明变式作业的好处。
案例一：笔者在执教人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线和方程》过程中在讲完椭圆的方程一节后，针对课书例3和练习题第3题的变式作业。
附：例3：点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交与点M，且它们的斜率之积是-[49]，试求点M的轨迹方程。
例3：在教学的过程中主要目的是要求学生掌握直接法求轨迹方程的步骤，从而培养学生的逻辑思维能力和计算能力，笔者从课堂教学来看，此例题的设计激发了学生的学习兴趣，通过最后求出的轨迹方程学生对椭圆的定义和标准方程有了更深层次的理解。笔者对例3的变式作业设计如下：
作业1.1：点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交与点M，且它们的斜率之积是[49]，试求点M的轨迹方程。
设计目的：作业1.1与例3的区别在于条件中[49]与-[49]的区别，它们应该属于同一种类型的题，是对直接法求轨迹方程的直接应用，从学生的作业反馈看效果很好。
作业1.2：点A，B的坐标分别是（-a，0），（a，0），直线AM，BM相交与点M，且它们的斜率之积是[b2a2]，求点M的轨迹方程。
设计目的：首先是数字向字母的一个转化，考查学生的字母运算能力，其次是对椭圆轨迹方程的进一步的理解和掌握。
作业1.3：点A，B的坐标分别是（-a，0），（a，0），直线AM，BM相交与点M，且它们的斜率之积是k（k[≠]0），则点M的轨迹方程是[x2a2-y2ka2=1x≠±a]。
可以看到变式二高度概括了变式一的两种情形，甚至包括当[k=-1]时轨迹为圆方程的情形。而且当[k<0]时，A，B是否为椭圆的长轴或短轴视k而定。接下去我们考虑点A，B在y轴上的情形。
结论：在轨迹是椭圆方程中，点A，B可能是椭圆的长轴也可能是短轴，但在双曲线方程中，点A，B就是双曲线实轴的顶点。
思考：如果把以上变式看做是原命题的话。那么它的逆命题是否成立呢？即已知双曲线方程和双曲线上异于顶点的点，它们的斜率乘积满足什么条件呢？
俗话说温故而知新，学过的知识需要不断地加以应用和巩固提升。
案例二：笔者在执教人教A版必修5第二章《数列》过程中在讲完等差数列的性質一节后，针对等差数列的性质的变式作业。
附：课堂上给学生讲等差数列的条性质：
等差数列an中，公差为d，其前n项和为Sn，①[d=an-amn-m];②若[m+n=p+q]，则[am+an=ap+aq];③数列Sn，S2n-Sn，S3n-S2n……也成等差数列。
笔者在教学过程中对这三个性质引导学生做了推导，并进行了相应题目的训练，课堂上学生对这三个性质的应用不是非常的熟练，所以在留作业时由易到复杂的顺序。
作业1：
（1）设数列{an}是等差数列，若a3+a4+a5=12，则a1+a2+……+a7等于 。
（2）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于 。
作业2：
（1）已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为 。
（2）等差数列{an}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为 。
案例三：笔者在执教人教A版必修5第三章《不等式》过程中在讲完基本不等式一节后，针对利用基本不等式求函数的最值和值域的变式作业。
这次的作业主要是为了强化解法而设计的作业，因为在数学教学的过程中经常说通法通解，这些最基本的方法必须掌握，对重点内容必须强化解决。因此本节课后作业就是通法的再次运用。
附：课堂例题 已知函数[fx=x+4x]，[x∈][1，2]，求函数f（x）的最值。
课堂上师生探讨了两种解法，一种是基本不等式的应用，一种是利用函数的单调性求最值。
作业1：已知函数[fx=x+4x]，[x∈][1，4]，求函数f（x）的最值。
作业2：已知函数[fx=x+ax][a>0]，[x∈][1，2]，求函数f（x）的最值。
这些作业由简单到复杂，引入了参数的讨论，渗透分类讨论的数学思想，题量不多但思维量特别大，提高了作业的巩固效果。
总之，变式设计作业时一定要与课堂教学内容、题目紧密相联系，对学生的知识和能力要有充分的估计，一定要题量适中，符合学生的学情，便于学生开展思维能力的训练，达到应有的效果。
（本文系2018年白银市教育科学“十三五”规划课题《新课程理念下高中数学作业优化策略的实践研究》阶段性研究成果，课题批准号：BY【2018】G364）
