分类讨论思想在高中数学解题中的应用

冯玉兰

[摘  要：分类讨论思想，是根据数学的根本属性的相同点以及不同点，将数学渐渐地分为不同的种类的一种有效的数学思想。对于学生来说，就是使用分类讨论思想将不能够统一方法解答的问题，划为不同的模块，学生在通过分块来实现问题的求解，体现出学生对数学问题的解题能力以及学生对数学问题的分析能力。这种数学思想，也是高中数学中一项重要的考查项目。本文在此基础上主要分析了分类讨论思想在高中数学解题中应用的相关内容。

关键词：分类讨论思想;高中数学;解题;应用]

1引言

分类讨论思想存在于生活中的各个学科、领域中，是自然学科以及所有社会学科的基本逻辑方法，不单用于数学教学中。高中数学教学中，分类的思想体现在多种方面，例如，代数与几何的分类、方程和函数的分类等，通过合理分类这些问题，有效降低了学生的解题难度。纵观历年的数学高考试题，分类讨论解题方法常常出现在高考解题当中。伴随素质教育的推进、新课程改革的实施，数学教学应该做到在“授人以鱼”的同时“授人以渔”。让学生在解题中学会分类讨论思想，这不仅有助于解题能力的提升，也有助于数学思维能力的发展。

2分类讨论思想的解题策略

分类讨论思想是指当某类数学问题不能以统一空间形式作答时，首先，需要选定适当的标准;然后，根据上述标准将问题划分为若干子空间;最后针对问题空间进行逐一讨论，进而使问题获得解决。分类讨论思想解题的关键是找清分类的动机与策略，即弄清“为何”、“如何”。根据分类讨论思想的定义与关键要素，本文确定分类讨论思想的四个操作步骤。

3分类讨论思想在高中数学解题中的应用

3.1数列中的分类讨论思想

证明某些逻辑命题时，由于此类证明命题的特殊性，在论证过程中需要根据不同情景或原理，将这些复杂的、抽象的命题解剖为若干个具体的子命题。分解子命题时需要建构相关的论证要素，只要把相关的论证要素全部逐一的建构，就足以彻底地去证明原命题。例1：若{an}是由非负整数组成的无穷数列，把此类数列前n项的最大值记为An，同时把第n项之后各项an+1，an+2，……，的最小值记为Bn。命dn=An-Bn其中n=1，2，3，……，求证：当a1=2，dn=1时，则{an}的项是1或2，而且有无穷多项为1。剖析：

（1）当数列{an}的某项ai=0时，则有d1=a1-ai=2-0=2，这与dn=1矛盾，所以数列{an}中所有的项都不为0。

（2）当数列{an}的项大于2时，记其中第一个大于2的项为ai，因为数列{an}中一定存在项1，否则这与d1=1矛盾。当n>i时，则有an≥2，否则这与di=2相矛盾。故数列中存在最大的项m在2与i-1之间，使得am=1。此时dm=Am-Bm=2-Bm≤2-2=0，这与题设dn=1相矛盾。所以数列{an}中的项不能超过2，只能是1或2。

（3）当数列{an}中只有有限项为1时，记al为最后一个1，那么al的后边各项的最小值为2，此时dl=Al-Bl=2-2=0与题设dn=1相矛盾。所以数列中有无穷多项为1。综上三种情况可知，命题获证。

3.2概率中的分类讨论思想

在高中数学概率解题当中应用分类讨论思想，可以对问题要求进行分类，更好地得到最终的答案。对于高中数学的学习当中，概率所占的学习地位非常重要，也是高考时的重要考点之一。对于解答概率相关的问题的时候，学生可以对题目当中已知的条件进行编排，然后学生在利用分类讨论思想研究对象当中的变量的可能数值进行假设，要最终确定合理的选择。最终，通过分类讨论之后，得到最终的结果，这样就能够解决高中数学当中遇到的概率问题，还能够更好地节约时间以及提高学生解决问题的效率。

3.3不等式中的分类讨论思想

例2：设k∈N，求满足不等式|m|+|n|

4分類讨论思想在高中数学解题中的应用策略

分类讨论思想是现在教学方式中比较先进的一种，合理的运用可以取得良好的教学效果，事半功倍，但选择这类教学方式需要摒弃其中的一些思想误区，并加以完善。第一，将学生进行不同层次与能力的分类分类讨论思想应该侧重于学生之间的个体差异，不应侧重于对问题进行分类。在进行教学之前，根据学生的理解能力、知识掌握程度、独立思考能力等进行合理分类，仔细考查每一名学生的情况，在此基础上进行问题的总结分类，确保让学生充分掌握的前提下进行学习。但在进行分类时，确保这种分类形式不带歧视性眼光，以及足够的公平公正，同时到学生的理解。第二，将相关性与难度系数进行结合来分类问题。同一类型的相关性问题也是有难易之分的，因此，在进行归纳分类时，不能忽略这个问题。数学教师应该首先考虑对学生等级分类，然后再进行知识点的分类，最后把已经分类的问题按照难度系数进行更加细化的分类，针对不同学生进行不同的使用类别。

5结束语

在解决数学问题时，需要将蕴涵在数学知识背后的数学思想方法“挖掘”出来，既要掌握数学知识，又要领悟数学思想方法。学生的分类综合思维能力的培养需要一个长期的过程，需要在实践和训练中得到发展，可以通过经常性的思维训练去提高学生的综合能力。

参考文献

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[3]杨淑芳.分类讨论思想在高中数学教学中的渗透策略研究[D].信阳师范学院，2016.