“三重表征”在小学数学教学中的应用

龚伟 应益可

【摘   要】儿童的认知发展是由结构上迥异的三类表征系统及其相互作用构成的质的飞跃过程。就“5以内的加减法”的教学来说，教师可以通过“动作表征”促进学生乐于探索，培养学生的探究能力;通过“图像表征”促进学生自主观察，培养学生的抽象能力;通过“符号表征”促进学生不断思考，培养学生的推理能力。

【关键词】三重表征;小学数学;5以内的加减法

一、问题提出

数学符号是数学学科语言的主体，主要用于数学表达沟通，可以简化和加速学生的数学思维过程，进而提升其语言表达能力、抽象思维能力以及逻辑推理能力。从认识事物的角度来说，符号化的数学知识与学生生活实际内容的互动是学习数学的基本途径。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在综合各方面研究的基础上，正式将“符号意识”列为数学学习内容的核心概念之一[1]。

然而，数学符号对于小学生究竟意味着什么，什么时候开始学习以及如何学习，这些问题一直困扰着广大小学数学教育工作者。笔者曾就上述问题与某小学数学教师进行探讨，并有幸受邀观摩了一次一年级“5以内的加减法”的课堂教学。课后笔者与上课教师进行了深入交流，不仅对上述问题有了较为清晰的认识，更是有感而发：小学数学教学并不是件容易的事。

二、“5以内的加减法”的教学设计

众所周知，小学生在学习“5以内的加减法”前，已经能够熟练地从1数到5以及准确地辨认这五个数，而且对“5以内的加减法”有了一定的掌握，但这是他们初次接触“+”“=”“2+3=5”这些符号及其表征。因此，毫不夸张地说，“5以内的加减法”是小学生真正学习数学的开端，是他们经历复杂符号思维过程的起始阶段，对他们以后的数学学习起着非常重要的导向作用。

“谋求科学世界向生活世界的回归，实现科学世界与生活世界的融合，已成为一种重要的时代精神。这意味着教育应当挣脱‘唯科学主义的樊篱，摆脱工具价值的地位，找回失落的主体意识”[2]。从整个教学过程（见表1）来看，本节课的最大特色是让小学生亲身经历“生活世界”与“科学世界”之间的相互转化：“生活激趣”部分的主要目的在于唤醒学生的已有认知，强化数学与日常生活的关系，为接下来的学习做准备;“思维挑战”部分在于引导学生通过自己动手与思考，逐步从“生活世界”进入“科学世界”，真切地感受到“数学原本就是生活世界的一部分”“而不是冷冰冰的数字相加减”;“知识迁移”部分要求利用已有知识自行完成知识的建构，提高相关类属学习、概括学习和并列结合学习的能力;最后的“课堂小结”部分既是对本节课所有内容的总结，加深学生对符号表征的理解，也是让学生更好地感受到“数学从生活世界中分离出来是为了更好地提升生活世界的意义”。此外，执教教师在整个教学过程中，设置了“汇报”“展示”“讨论”“交流”等环节，锻炼了学生语言表达能力，体现了数学教学的多维培养目标。

三、“5以内的加减法”的教学启示

“5以内的加减法”对于小学生而言并不难，甚至学前儿童已经能够熟练地运算。几乎所有的小学数學教师在教授这部分内容时都会采取从“数数”到“拆分”再到“加法”的教学设计，但都多多少少弱化了三者之间的实质、联系及其重要的学习价值。美国教育心理学家布鲁纳认为，儿童的认知发展是由结构上迥异的三类表征系统及其相互作用构成的质的飞跃过程，这三类过程分别是动作表征（the enactive representation）、图像表征（the iconic representation）和符号表征（the symbolic representation）[3]。本节课正是致力于将“数数”“拆分”“加法”背后所蕴含的三重表征系统的相互作用显性化，直指学生认知生长的核心，为学生以后复杂符号的学习做好一定的铺垫。

（一）通过“动作表征”促进学生乐于探索，培养学生的探究能力

杜威的观点“学校中求知的真正目的，不在知识本身，而在学习获得知识以适应需要的方法”[4]与我国古语“授之以鱼，不如授之以渔”有着相同的意思。因此，教师在有条件的情况下应尽可能地让小学低段学生动手学数学，引导他们大胆探索，促使他们利用在“动作表征”阶段获得的直接经验进行深度思考，进而展开发现学习，对已获取的知识进行转换和组织，掌握解决数学问题的一般方法，最终到达自主探究的状态。

本节课中，执教教师充分调动学生的积极性，通过设计“数一数”活动环节让学生直观地感受到数的加法以及“1加2”和“2加1”是相同的，紧接着让学生通过“说一说”环节来“强化”自行获得的认识。随之，执教教师让学生动手画出自己的表述过程，这一做法的目的不仅在于将学生的思维导入“图像表征”阶段，更是让学生建立起“动作表征”与“图像表征”之间的联系，在方法层面上提高解决问题的能力。

（二）通过“图像表征”促进学生自主观察，培养学生的抽象能力

赤瑞特拉通过大量实验证实，人类获取的信息83%来自于视觉[5]，视觉是人类认识和改造世界的一个主要途径。同时，根据皮亚杰对儿童和青少年认知发展的划分[6]，可知小学低段学生正处于具体运算阶段（stage of concrete operation），需要借助具体的实例进行学习。“图像表征”的主要作用，能够将学习内容具体化，留给学生充足的独立思考的时间，提高学生的理解能力，初步形成“数形结合”的基本观念。因此，教师需要在“图像表征”阶段指导学生自觉观察与比较，为进行进一步的推论获得第一手资料。

执教教师考虑到学生当前的逻辑推理能力比较有限，要想让他们获取数学经验，就得更多依赖于直接的观察与比较这一途径。待学生画出自己的表述过程之后，执教教师特意设置了相关的展示与讨论环节，旨在引导学生的思维通过语言积极地“作用”于用视觉获取的外界信息，将图像的外部特征逐步抽象最终得出所表征的本质信息，为思维层次的进阶做好铺垫。

（三）通过“符号表征”促进学生不断思考，培养学生的推理能力

卡希尔认为，“符号化的思维和符号化的行为是人类生活中最富有代表性的特征，并且人类文化的全部发展都依赖于这些条件”[7]。数学符号是国际数学界统一规定和使用的，它以直观简单的形式表达了丰富的数学意义，成为学习和研究数学特有的语言工具。“符号表征”的过程，其实正是学生不断整合思维逻辑，将所学知识不断加工与强化的过程。因此，教师需要指导学生将获得的直接经验加以处理并转换为内在的模式，使之不受时间与空间的限制而与他人交流，可以通过对各种行为所导致的结果进行预见而制定自己正确的行动指南。

“符号表征”是学生数学学习的难点，以往的教学往往直接由教师讲授“拆分法”，虽然已有一定符号表征的要求，但显然过多地强调了数学符号的“工具价值”而忽略其“思维价值”。在本节课，执教教师在学生对图像表征已有深入见解的基础上才过渡到“拆分法”，而“拆分法”用于“图像表征”与“符号表征”之间的巧妙过渡则很好地引出了“加法”的表示。随后的“知识迁移”环节则让学生自行经历“三重表征”的全部过程，要求学生自行完成数学学习的多元表征。这不仅加深了学生对数学符号表征的理解与运用，更是有力地促进学生进行意义建构与实践应用，从而实现学生素养的整体提升和全面成长（见表2）。

四、结语

自从小学生开始学习数学，就开始与数学符号打交道，尽管接受了有关符号操作的强化训练，但计算仍然错误不断，究其原因是小学生缺乏对符号的深刻理解和灵活运用。[8]因此，小学生在其早期数学学习阶段就应当系统学习符号表征的相关内容，为其后续代数思维的学习和数学能力的长期发展奠定基础，更是使学生掌握一种“调整和创造各种环境事件的有力工具”，使人的生活更加具有深度和意义。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京： 北京师范大学出版社，2012：9-10.

[2][3]张华. 课程与教学论[M].上海： 上海教育出版社， 2000：432，126.

[4] （美）杜威，著. 明日之学校[M].朱经农，潘梓年，译. 北京： 商务印书馆，1923：15.

[5] D.G.Treichler. Are you missing the boat in training aids？[J].Film and Audio-Visual communication，1967，48（1）：14-16.

[6] （瑞士）皮亚杰，著. 发生认识论原理[M].王宪钿，译.北京： 商务印书馆，2009： 21-51.

[7] （德）卡希爾，著.人论[M].唐译，译.长春： 吉林出版集团有限责任公司，2014： 36-37.

[8] 吕婷. 一年级学生数学符号意识的特点及其与数学学业成绩的关系[D].杭州： 杭州师范大学硕士学位论文，2017.

（浙江师范大学教师教育学院   321004）