土微观结构下的冻土热参数研究

□文/牛 军 孔繁杰

冻土是由土颗粒、冰、水、气组成的多相混合体。我国冻土分布范围广且工程性质复杂，影响冻土工程应用的一个重要因素是计算温度场，而热参数是计算温度场的重要依据[1]。冻土热参数包括导热系数、比热、潜热。随着测试理论和测试技术的发展，冻土热参数不同影响因素下的变化规律已日渐完善[2～3]；但是，由于测试冻土热参数时往往基于某一类或某几类土体试样测定，所得的热参数计算模型仅适用于测试土体，因而缺乏通用性。

当前冻土热参数变化规律研究往往基于试验结果而建立，对变化机理及本质说明尚欠缺。冻土热参数的变化实质是由冻土内各相体含量及接触排列方式的不同所导致。冻土内相体排列以土颗粒排列为主，土颗粒之间排列形式由松散到密实可分为多种情况。相体间接触可分为同相体间接触和异相体间接触，不同相体间接触会影响热量的传递方式：同相体间热量等梯度传递，传递路径固定，不会发生路径偏转；异相体间热量传递为非等梯度传递，传递路径复杂且多变。

现阶段的冻土热参数算法[4～5]、测试理论及测试手段[6～7]十分完善丰富，但微观角度分析冻土热参数变化规律的研究还很少，本文从土微观角度研究冻土热参数的变化机理及热量在冻土中的传递规律，以此建立计算方程，得出热参数计算方法的推导公式。

1 冻土中传热相体

1.1 相体的接触方式

冻土相体是指冻土组成物，包括土颗粒、冰、水、气，各传热相体均视为各向同性的均质体。Johansen[8]提出饱和冻土导热系数计算公式以及考虑各物质质量加权平均的冻土比热计算公式[9]。等体积含量下，各相体的热参数是决定冻土热参数的基本因素。

式中：λ、λs、λw、λi分别为饱和冻土、土颗粒、孔隙水、孔隙冰的导热系数，W/(m·K)；Ps、Pw、Pi分别表示饱和冻土中土颗粒、孔隙水、孔隙冰的体积分数；cd、ca、ci、cw分别为饱和冻土、冻土骨架、孔隙冰、孔隙水的比热容，kJ/（kg·℃）；w、wu分别为饱和冻土初始含水量和未冻的水含量。

冻土中相体间存在多种接触方式，不同接触方式会产生不同的热流交换方式。如果冻土中均为两相体接触，则存在6 种接触方式，分别为土水、土冰、土气、冰水、冰气、水气。由于空气在冻土中多分布于水与冰中，故可忽略土气接触，但是在干土中土气接触仍为主要接触方式。当两种相互接触的相体热参数不同，热流通过两相体时会发生热流的削减传递。对热流传递做出假设：热流传递符合能量守恒定律，只在土体相体中传递，不发生热量的外部损失。土体模型的一侧有当量为Q的热流，当热流通过模型土体相体时，由于相体升温导致热流当量削减，见图1。

图1 热流削减传递

根据能量守恒定律

其中

将式（4）代入式（3）中得到新的等式，化简等式，得到冻土比热简化计算公式

式中：Q、Q'为流经模型土前后的热量；Qi（i=s，w，i，a）为模型土中各相体吸收热量；ci、mi为冻土相体比热、质量；wi为各相体质量分数；Δti为温度变化量。

1.2 热流在相体中的传递

热流在冻土中遵循热量传递规律，即总是从高温度传递向低温度。假设热流在土体中为正交传递且以土颗粒为传递通道。见图2。

图2 正交传递模型

冻土中热流的传递可分为同相体间热流传递与异相体间热流传递，不同传递方式会产生不同的热流路径，同相体间热流为等梯度传递，异相体间热流为非等梯度传递。见图3。

图3 热流在相体中传递

已知导热系数定义：稳定传热条件下，传热材料两侧温差为1 ℃，通过单位体积的热量[10]。可知，当物质体积及温度变化量相同且相同传热条件下，导热系数越大，热流通量也越大。假设导热系数存在：λs＞λi＞λw＞λa，对应的热流通量q也存在相同关系。

已知均匀传热截面上各点的热量相同，则由式（4）可得土颗粒与冰水气混合体的温度变化关系

式中：c1、c2分别为介质1和2的比热容；m1、m2分别为介质1和2的质量；Δt1、Δt2分别为介质1和2的温度。当c2m2≥c1m1，土颗粒温度高于混合体温度，土颗粒对混合体有升温作用，混合体的升温途经有外部热流及土颗粒热流两个；c2m2＜c1m1，则情况相反。假设混合体为混合升温，当冻土升温稳定时各相体温度相等。当传热点1 与2 温度不同时，1 与2 之间会发生热流交替，当1与2温度相同时，假设等温区不再发生热流交替。

2 土颗粒排列方式

依照经典假设，将土颗粒理想化为均匀球形或者椭圆形颗粒[11]。依照排列方式可分为松散排列与密实排列两种情况，见图4。

图4 土颗粒排列截面

2.1 松散排列情况下导热系数计算模型

土颗粒间空隙以水、冰及空气填充，则构成疏松土体的土颗粒空间排列形式见图5。

图5 土颗粒的空间疏松排列

现实中，严格意义上的点接触是不存在的。由比热定义可知，稳定热流情况下，接触点处的土颗粒质量为无穷小，而温度为无穷大，这与实际不符，故假设土颗粒间为球缺接触，热流通过接触点在土颗粒间传递且假设热流只以接触传递的形式存在，计算时接触面宽度取土颗粒半径的0.1 倍。基于图5，可以得出图6所示的热流空间传递骨架。实际上，土颗粒表面被水包裹，气体分布于土颗粒间自由水之中[12]。以传热点1代替土颗粒，传热点2代替其他相体，等效成冻土传热骨架。

图6 疏松传热骨架

因为冻土各相体中土颗粒导热系数最大，所以土颗粒及土颗粒与其他相体的接触面最先产生温度变化。现实中冻土的水、冰、气分布复杂，为简化计算，将水、冰、气混合体截面简化为圆形，见图7。

图7 传热单元体

由定义可知，导热系数理论计算公式为

式中：λ为土体导热系数；Q为传递到土体中的热量；Δt/Δh表示温度梯度；ΔS表示土体传热界面的截面积；T表示传热时间。

由于假设土颗粒为球体，因此传热截面为非等面积截面。由于单元体是空间对称体，故可计算1/2单元体。土颗粒截面积S1=π(d/n)2，混合体截面积S2=4d2-S1。

将各符号定义式代入式（8）有

式中：d为假设球形土颗粒的直径。

对时间T的求解可采用加权平均法。将混合体弧长n等分并求解时间T。

传热点1 的导热系数等于土矿物导热系数，传热点2 导热系数等于冻土中水、冰、气三相混合导热系数。参照文献[8]公式可拟算传热点2的导热系数。

将求解的时间T函数代式（9）中，得冻土导热系数

2.2 密实排列情况下导热系数计算模型

根据松散排列状态下的导热系数计算模型，对密实排列状态下的导热系数计算模型加以说明。土颗粒密实以及密实状态下的传热骨架见图8。

图8 密实排列传热骨架

与松散状态下的导热系数模型不同的是，密实排列下相邻土颗粒并不在同一平面上排列，见图9。由于密实状态下传热骨架形状复杂，所以依照密实排列下单元体进行计算。

图9 密实排列传热单元体

以交点为准，可将传热单元体分成两部分计算。上部分可看作边长l=d的正四面体，截面积可取底面积1/2，即S1=0.433d2。下部分将混合体看做均分为n分，截面积

将式（16）和（17）代入式（8）求得时间T。

由于土颗粒间点接触为理想状态，实际中不存在，故n不可能趋于无穷大，可将土颗粒间接触范围取土颗粒半径的0.1倍。

将T代入式（9）中计算得密实排列下导热系数计算模型

3 计算模型修正及分析

对上文建立的导热系数计算模型进行修正分析。由式（15）和（22）可知，相同种类土的情况下，c1、λ1为常数，c2、λ2值与冻土各相体含量有关，常数值与土的密实度有关。由此给出基于土颗粒不同排列方式下的理论计算修正模型及计算参数。见表1。

表1 计算参数汇总

由式（23）可知，冻土导热系数本质上与各基本组成物的热参数及其物质含量有关，温度、土体密实程度通过影响各相体物质含量而影响热参数。

4 空气含量对导热系数的影响分析

气体的含量影响着冻土导热系数，随着气体含量的增加，冻土导热系数减小。冻土中空气含量影响冻土导热系数的本质是：空气含量的变化改变了冻土中各传热相体的接触关系及各相体的相对含量，也改变了热流的传递路径，增大或减小了热流传递时间。目前的研究认为，稳定存在的气体是被土体中水分包裹，构成中空的腔体，腔体的存在阻碍并改变了热流传递的路径，见图10。

图10 冻土中空气腔体

腔体的数量很大程度上由气体含量决定，但也与土颗粒密实程度及未冻的水性质有关。气体含量越多，腔体的尺寸及数量越大，水冰气混合体导热系数越小；含水量不变的情况下，土体密实程度越大，腔体尺寸及数量越小。

5 结论

1）基于热流在冻土中的正交传递假设及热流传递定律，提出热流在冻土中削减传递并以此推导出基于冻土各相体质量分数的比热计算公式。

2）依据土颗粒疏松与密实两种排列方式并依靠导热系数理论计算公式，推导求得与相体比热、导热系数有关的冻土导热系数计算模型。

3）分析空气含量对导热系数的影响，空气在冻土中形成空气腔体，腔体的存在改变了热流传递路径，从而影响导热系数大小。