经历建模过程把握方程本质

孙伟

[摘 要]在“方程的意义”的教学中，不能只强调方程的外部特征，以学生能辨认方程为主要认知目标，而忽略了方程的本质。方程的教学应该从数学模型的视角出发，帮助学生逐步建立方程模型，把握方程的本质。

[关键词]数学建模;经历;方程本质

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）23-0067-02

方程在初等代数中占有重要地位，但很多教师只注重传授方程的形式化定义——“含有未知数的等式”，强调方程的外部特征，以学生能辨認方程为主要认知目标，而忽略了方程的本质——“在已知数和未知数之间建立的一种等量关系”。方程也是一个用数学符号提炼现实生活中特定关系的过程，也就是数学建模过程。因此，教师应从模型的视角去教学，帮助学生逐步建立方程模型，把握方程本质。

一、理解相等关系，初步勾勒模型

【教学片段1】

师（课件出示天平图1）：这是什么？

生1：天平。

师：天平有什么作用？

生2：称量物体的质量。

师：怎样称？

生3：左盘先放入物体，然后右盘放入砝码，当指针指向中央，也就说明两边的质量一样，砝码的质量是多少，物体的质量也就是多少。

师：指针指向中央，说明天平是平衡的，天平平衡也就说明左盘里的物体和右盘里的砝码质量是——

生（齐）：相等的。

师（课件出示天平图2）：天平平衡吗？

生（齐）：不平衡。

师：能说左盘碗和米饭的质量和右盘砝码的质量存在相等关系吗？

生（齐）：不能。

师（课件出示天平图3）：现在能说左盘碗和米饭的质量和右盘砝码的质量存在相等关系吗？

生（齐）：能。

（板书：碗和米饭的质量和70克相等）

师：在我们的生活中，除了天平之外，还存在着很多的相等关系。这节课我们就围绕着相等关系来研究问题。

【思考：正如前面所言，过分强调对于方程外部特征的认识，而忽略方程的本质，将使学生的认知浮于表面。方程思想的首要是“能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型”。这里说的数量关系就是等量关系，也可以理解为相等关系。相等关系是学习方程以及等式的性质和列方程解决问题的核心，方程首先是等式，而等式的性质就是通过观察在变化的过程中等式的变与不变而发现的，因此只有在实际问题中找到相等关系才能列出方程。可见，关于方程的知识离不开相等关系。本环节的教学就抓住这一根本点，首先引导学生借助天平认识平衡，而平衡就说明两边的物体存在相等关系，然后让学生观察天平图，在对比中寻找相等关系，寻找相等关系的过程中，学生也勾勒出相等关系的初步模型。】

二、研究具体情景，初步建立等量模型

【教学片段2】

师（课件出示图4）：现在的天平是什么样的？

生（齐）：平衡的。

师：也就说明什么？

生1：两个小砝码的质量和一个大砝码的质量是相等的。

师：也就是说两个小砝码的质量和一个大砝码的质量存在相等关系。你能用一个式子表示出这种相等关系吗？

生2：50+50=100。

师：为什么用“=”连接？

生2：因为两边是相等的关系。

师（课件出示图5）：你能在这幅图中找出相等关系吗？

生3：12枚蛋黄派的质量和一盒蛋黄派的质量相等。

师：你能用一个等式表示出这种相等关系吗？

生3：22×12=264。

师（课件出示图6，标明碗重30克）：你能看懂这幅图吗？

生4：碗和米饭共重70克。

生5：碗和米饭的质量和两个共重70克的砝码质量一样。

师：你能用一个等式表示天平两边物体的质量关系吗？

（学生在作业纸上记录，教师巡视，并展示有代表性的作品，最后得出x+30=50+20。）

师（出示图7）：这里存在着相等关系吗？

生7：7天跑的路程和一个星期跑的一样多。

师：你能用一个等式表示出这种相等关系吗？

生8：把每天跑的路程用未知数表示，列出等式7y=2.8。

师：观察我们写出的这些式子，它们有什么共同的地方？

生9：都有等号。

生10：都表示两边是相等的关系。

师：知道它们叫什么吗？

生（齐）：等式。

师：回顾刚才的学习过程，我们都是先找出相等关系，也就是等量关系，然后根据等量关系写出等式。

【思考：对于等式，学生早有认识，但学生对于等式的理解更多地停留在运算结果的层面。等式是数学的基本概念之一，指表达相等关系的式子。在这个教学环节中，让学生先寻找相等关系，然后用一个式子表示出这种相等关系，明了相等关系应该用“=”连接起来，而“=”的两边应该用数学语言来表示，已知的用具体的数，未知的用字母来代替，等量模型就这样自然而然地建立起来。接着让学生观察这几个式子，寻找共同点以及所表示的本质意义，学生对于等量模型就有了更深刻的理解。最后引领学生回顾学习的过程，知道建立等量模型的步骤。通过这样逐步的深化，等量模型在学生的头脑中逐渐清晰起来。】

三、寻找特殊情况，逐渐建立方程模型

【教学片段3】

师：通过刚才的研究不难发现，生活中也存在着很多的等量关系，这些等量关系都可以用——

生（齐）：等式来表示。

师：它们虽然都是等式，但有什么不同吗？

生1：有的有字母，有的没有字母。

师（指着不含未知数的等式50+50=100、23×6=138）：这些等式表示的是已知数之间的等量关系。

师（指着含未知数的等式x+30=50+20、7y=2.8）：这些表示的是什么呢？

（学生先独立思考，然后小组讨论）

生2：不知道的和已经知道的之间的关系。

生3：已经知道的和不知道之间的等量关系。

师：未知数用什么来表示？

生4：字母。

师：这种表示已知数和未知数等量关系的式子就是方程。

师：方程是依据什么写出来的？

生5：等量关系。

师：像这样，依据已知数和未知数之间的等量关系建立起来的含有未知数的等式叫作方程。

……

师：请回顾得出方程的过程。

生6：首先要找出等量关系，然后用字母表示未知数，再写出等式，也就是方程。

师：回答得真精辟！同学们已经初步认识了方程，那么方程和等式有什么聯系和区别？

生7：方程是等式，是含有未知数的等式。

生8：方程是等式的一部分。

师：如果用一个圈表示所有的等式，方程用另一个圈表示，还记得我们学过的韦恩图吗？想一想，应该怎么画？

（教师根据学生的回答画出韦恩图）

【思考：陈重穆教授认为：“有些名词的定义作用并不大，要紧的是对其实质的理解与领悟。”用“含有未知数的等式”来定义方程容易流于表面，而忽略其本质。在这个教学环节中让学生观察、对比这些等式，发现其不同，虽然都是等式，都表示等量关系，但是方程是依据已知数和未知数之间的等量关系建立起来的含有未知数的等式，这也是方程特殊之处，然后让学生回顾得出方程概念的全过程，思考方程和等式的关系。经过这样的对比、分析、回顾和反思，方程的模型逐渐在学生脑中建立起来。学生对于方程的本质也有了一个比较清晰的认识。】

史宁中教授提出：“在数学活动中，让学生了解数学模型，特别是了解数学模型的构建过程是非常重要的。”而在这节课中，让学生从认识相等关系开始，再接着建立等量模型，继而建立方程模型，理解其本质，就把逐层抽象、逐步建立模型思想体现得淋漓尽致。

（责编 金 铃）