“图穷匕见”

肖立伟

[摘 要]数学是一门严密性、逻辑性和抽象性较强的基础学科，如何将繁杂的数学知识转变为学生易于接受的趣味知识，变复杂为简单，变抽象为直观，是值得教师思考的问题。其中，小小的画图策略，可发挥事半功倍的大作用。

[关键词]画图;数学思维;解题

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）23-0056-02

动手实践、探析症结、解答问题，是新时期学科教学下学生探究实践能力培养的内在要求。在解决较复杂问题时，学生对抽象的数量关系的理解存在一定困难，如果适时让学生在纸上涂一涂、画一画，可以帮助学生分析和理解抽象的数量关系，从而找到解决问题的方法。画图策略是根据所揭示的数学问题内涵，通过各种图形把抽象问题具体化、直观化，让复杂的数学问题变简单的一种方法。

一、图中悟理，亮出真实身份

[例1]布置教室时，要将一张长36cm、宽27cm的长方形卡纸裁成若干张同样大小的正方形卡纸，纸张不能有剩余，且正方形的边长最大，至少可以裁成几张这样的正方形卡纸？

教师可以让学生尝试按要求先画一画，再剪一剪（如图1）。在画的过程中，学生慢慢就会意识到，符合要求的正方形卡纸的边长既是27的因数又是36的因数。要使正方形的边長最大时，边长的取值就要是27和36的最大公因数。

[例2]有一些砖，每块长50cm、宽45cm，至少要用多少块这样的砖才能铺成一个正方形？

教师可以让学生根据题意画一画铺的过程（如图2）。画着画着，图形越铺越大，学生渐渐悟出正方形的边长需是45和50的公倍数，而要使所用的砖最少，正方形的边长就应是45和50的最小公倍数。

这两道题的相似度很高，均可用短除法求解，且都是由长方形通过剪或拼后得到正方形，都要用到相同的数量关系：行数×列数=总块数。对于究竟是运用最大公因数还是最小公倍数求解，学生分辨不清，极易混淆。通过画图，学生对这两类正方形的边长有了细致的体验，理解会更深刻，应用就将更灵活。当学生有了足够体验后，再遇到此类问题时，他们就会立刻在头脑中浮现出相关的图形映像，快速分辨问题类型，做出合理的解答。

二、图中启智，画出新的领地

[例3]某班学生人数在40～50之间，如果分成8人一个小组，那么有一个小组多5人;如果分成12人一个小组，那么有三个小组各少1人，求这个班的学生人数。

此题题意藏得较深，看似无从下笔。读完题目后，多数学生选择列举倍数法，再从中筛选出适合的结果。如果这时教师引导学生画一画、比一比，就能使之豁然开朗。如图3，以“ ”代替人，把这两种排列情况展现出来。学生很快就有了新发现，“分成8人一个小组，那么有一个小组多5人”，还可以看成另起一个小组少3人;“分成12人一个小组，那么有三个小组各少1人”，整合一下，就变成了只有一个小组少3人。这样，这个问题就转化成了同余问题，只需找到8和12的公倍数，再从中选择合适的数减去3即可求解。

[例4]一条公路要3天修完，第一天和第二天共修了全程的[78]，第二天和第三天共修了全程的[58]，第二天修了全程的几分之几？

很多学生认为此题难度较大，只知道两个分数，求任何一天的工程量都像少了条件。只有部分学生想到，把这两个分数求和，其比单位“1”多的部分，就是第二天修了全程的几分之几。教师可以引导学生画线段图（如图4），只要标出第一天和第二天共修了全程的[78]，学生就会清晰地看到剩余部分是1- [78]，即第三天修了全程的[18]。再结合第二天和第三天共修了全程的[58]，学生就可以轻松地求出第二天修了[58- ][18 ]= [48]。有了图形的帮助，学生理解起来就会更清楚。“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，说的也许就是这种感觉吧！

[ ][图4]

三、图中有思，展出新的空间

曾听过刘延革老师的一节关于长方体与正方体的复习课，课堂上学生对问题独到的思考征服了所有在场的老师。

[例5]一个长、宽、高分别为10dm、6dm、20dm的柜子，要在里面放长、宽、高各为8dm、6dm、2.5dm的小长方体木块，问：最多能放几块？

一位学生列出算式：10÷8=1……2，6÷6=1，20÷2.5=8，1×1×8=8，因此最多能放8块。听了这位学生有序的解答过程，我暗自为他的空间想象能力叫好。刘老师在屏幕上及时展现出这种摆放方法，在肯定该方法的同时又抛出问题：“还能再放吗？”学生的思维又被拉向了对柜子的剩余部分（长、宽、高各为2dm、6dm、20dm）的思考。另一位学生说：“最多可以放9块。（10÷2.5）×（6÷6）=4（块），20÷8=2（层）……4（块），一共是4×2=8（块）。放了8块后，柜子里仍富余一个长、宽、高各为4dm、6dm、10dm的空间，还可以再放1块！”全场老师都佩服刘老师的精妙设计，如果没有图上剩余空间的思考这一“扶手”，学生的空间思维很难再上一个台阶，而刘老师的这一问一扶，引发了学生的思维碰撞，得到了意想不到的收获。大多数教师给学生的引导往往是通过语言，而刘老师则通过对图形的巧妙应用，在学生的思维拐角处给予了有力的引导与支撑。

四、图中有情，现出本来面目

[例6]一个长方体的高减少5cm，就变成了一个正方体，这时表面积比原来少120cm2，原来长方体的体积是多少？

只要结合题意图画，就会发现这个长方体的特点（如图5）。只有当截去部分后，长=宽，才能得到正方体，而减少的面是4个完全相同的正方形，这样一来，学生就很容易求得正方体的棱长为120÷4÷5=6（cm），进而求出原来长方体的体积。羁绊学生思维的往往是类似于该题中“长=宽”的隐藏条件，通过画图，隐藏条件就会浮出水面。

走进数学教学，我们不难发现，画图策略的巧妙运用会为学生提供更多思路和解题方法。解决问题时，审题意、画简图、标条件，在这一串流程中，画图无疑给学生增加了一双有形的翅膀。画图能直观明了地展现解题条件，也能给学生的移一移、动一动提供支持，是让学生的思维走向深处的阶梯和桥梁。画图，让数学的深奥因图形而变得生动直观，让学生的思维在图形中恣意伸展！

（责编 李琪琦）