方格图在平面图形面积公式推导中的功能与价值

张卓卿

[摘 要]在平面图形面积公式的推导中，方格图是教师经常用到的一种直观图，它是数形结合的有效载体。在教学中，方格图的主要作用并不是教会学生“数”出面积，而是要学生充分利用方格图发现多种计算平面图形面积的方法。

[关键词]方格图;面积公式;功能;价值

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）23-0044-02

人教版教材关于平行四边形面积公式的推导，首先呈现了一幅方格图（如图1）。教材安排这一环节的目的是让学生在数方格的过程中发现平行四边形面积和长方形面积之间的关系。读题后，学生产生疑问：“为什么不满一格的都按半格计算？这样数出来的面积是否精确？”很多教师没有想到这一点，往往一笔带过，使学生陷入困惑之中。

笔者认为，在平面图形面积公式的推导中，方格图的主要作用并不是为了数出面积，而是要充分利用方格图发现多种计算平面图形面积的方法。笔者对运用方格图推导平面图形面积公式的方法进行了系统梳理，并进行了实践尝试，收到了很好的教学效果。

一、方格图在平面图形面积公式推导中的功能定位

在人教版教材中，平面图形面积公式推导的顺序是长方形、正方形面积→平行四边形面积→三角形面积→梯形面积。笔者认为，方格图在不同平面图形的面积公式推导中应具有不同的功能定位。

1.在长方形、正方形面积公式推导中的功能定位

学生从“线段长度需要用长度单位进行测量”，很容易联想到“平面图形的面积需要用面积单位进行测量”。于是，笔者规定一个1平方厘米的小正方形为1个面积单位，让学生用若干个这样的面积单位对一个长5厘米、宽3厘米的长方形进行测量，从而自然形成一张方格图。通过观察方格图，学生发现，“长5厘米”即一行可以摆5个面积单位，“宽3厘米”即一列可以摆3个面积单位，进而轻松发现长与宽的乘积就是长方形所占面积单位的个数，也就是长方形的面积。继续对多个长方形进行观察比较，学生发现“长与宽的积等于长方形面积”具有普遍性，由此推导出长（正）方形的面积公式。

如此，在长方形、正方形面积公式推导中，方格图的主要功能定位在实现从“测量面积”到“计算面积”的过渡。

2.在平行四边形面积公式推导中的功能定位

在平行四边形面积公式的推导中，笔者直接呈现图2（一个方格代表1m2），让学生想办法算出平行四边形的面积。学生清楚地知道，计算面积就是计算面积单位的个数，于是想到了多种方法（如图3）。

以上四种方法中，第一、二种是数格法的灵活运用，第三、四种是剪拼法。学生比较后发现剪拼法更简便。接下来，笔者引导学生将原平行四边形和剪拼后的长方形联系比较，运用剪拼法顺利推导出平行四边形面积公式。

如此，在平行四边形面积公式推导中，方格图的主要功能是实现从“数格法”到“剪拼法”的转化。

3.在三角形面积公式推导中的功能定位

在三角形面积公式推导中，笔者直接向学生呈现图4（一个方格代表1m2），让学生想办法算出三角形的面积。学生根据推导平行四边形面积公式的经验，想到多种剪拼的方法（如图5）。

在思维的相互碰撞中，学生找到了越来越多的方法。此时，学生的思维是高度兴奋的，一些喜欢求异的学生还想到了“倍拼”的方法（如图6）。

比较以上这两类方法，学生发现“倍拼法”更简便。笔者让学生用倍拼法对直角三角形和钝角三角形进行研究，成功推導出三角形面积公式。

如此，在三角形面积公式推导中，方格图的主要功能是实现了从“剪拼法”到“倍拼法”的跨越。

4.在梯形面积公式推导中的功能定位

在梯形面积公式推导中，笔者直接呈现图7（一个方格代表1m2），让学生想办法算出梯形的面积。学生根据推导三角形面积公式的经验，想到多种剪拼法和倍拼法（如图8）。

接着，笔者让学生对没有方格的多个普通梯形进行操作验证，从而推导出梯形面积公式。

如此，在梯形面积公式推导中，方格图的主要功能便在于让学生灵活运用“剪拼法”和“倍拼法”。

二、方格图在平面图形面积公式推导中的价值体现

1.提供直观数据，增强思维的严密性

小学生以形象思维为主，主要是通过观察来获得对平面图形的直观经验。平面图形的转化建立在熟知各种图形的特征和它们之间关系的基础上，而学生对图形特征及其关系的认识还比较肤浅，这就使得转化变得困难。方格图可突显图形的特征，使各种图形之间的联系更加突出，为平面图形的转化提供了直观参照。

同时，方格图还为学生直观地提供各种研究数据。根据小学生的年龄特点，平面图形面积公式推导以实验法和不完全归纳法为主，因此教师应充分提供研究数据，尽可能提高推理的可信度，从而增强学生思维的严密性。

2.发现多种方法，训练思维的发散性

根据已有经验，对于平行四边形面积公式的推导，学生一开始用数方格的方法来计算面积，但在数的过程中体验和感悟到用多种剪拼的方法更简便准确。由此，学生学会了运用化归思想来解决新问题，使解决问题的策略变得多样化。

在三角形面积公式推导过程中，方格图让学生的思维实现了从“剪拼法”到“倍拼法”的跨越，并让方法不断得到优化，有效训练了学生的发散思维。

3.建立“单位”观念，渗透数学思想方法

教学中，不管是“数”还是“量”的计算都离不开“单位”观念。利用方格图开展平面图形面积公式的推导，能使学生深刻体会到计算面积就是计算面积单位的个数，使得学生对“单位”观念的认识更加根深蒂固。当学生遇到计算面积的新问题时，可以回归本质，从面积单位的角度重新思考解决问题的方法。

例如，教学“不规则图形的面积”时，学生很自然会想到先用方格图将不规则图形转化成近似的多边形，再计算面积。又如，教学“圆的面积”时，圆是曲边图形，似乎与之前学的平面图形毫不相干，但学生能从逐步建立的“单位”观念，联想到把圆剪成若干个曲边“单位”——扇形，再重新拼组成一个已经学过的图形。

总之，在平面图形面积公式推导过程中，教师应充分挖掘方格图的最大价值，发挥方格图的独特功能，提高学生的数学思维水平，真正实现为发展学生的核心素养而教。

（责编 李琪琦）