深入探究分数概念及其模型

于海杰

[摘 要]分数是数的概念的一次重要扩展，是小学数学的重要内容之一，但由于其具有抽象性和复杂性，被认为是小学阶段学生最难理解、最容易出现错误的数学概念之一。教师要提高对分数概念的理解及分数概念各知识点之间的整体认识，从整体意义上去建构分数，梳理分数概念及分数模型，以帮助学生理解与掌握分数的概念。

[关键词]分数;分数概念;分数模型

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）23-0019-02

分数与整数不同，分数概念具有多重含义，且分数的书写形式、计数单位和计算法则与自然数相差很大，因此学生学习分数要困难得多。在我国现行的小学数学教科书中，分数概念的认识主要集中在“分数的初步认识”及“分数的意义”（或“分数的再认识”）两个单元。图1为呼和浩特市某小学三年级的学生在学习完“分数的初步认识”后犯的错误。

马珂在《分数概念的认识及其教学研究》中提到，在一次“分数的初步认识”的课堂上，教师告诉学生“分数线下面的部分叫作‘分母”，并问学生分数线上面的部分叫作什么时，很多学生都回答说“分公”。

这些例子都说明学生并没有完全理解分数的概念及分数线上下的“母子关系”。

一、分数概念

分数起源于分，当平均分配出现的不是整数结果的时候，逐渐就有了分数的概念。许多学者都认为分数在不同情景问题中有不同的意义，总的来说，对分数概念的理解应关注两条主线和四个维度。两条主线即是“比”和“数”。“比”是指一部分与另一部分之间的关系;“数”是指以有理数形式出现的分数。四个维度即比率、度量、运算、商。

“比率”指的是部分与整体之间的关系以及部分与部分之间的关系。部分与整体之间的关系通常用来描述一个被分开的全体的各个部分，体现了分数的拉丁文“fangere”词义——分开的意思。如一些教材把分数定义为“把单位‘1平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数”，正是这种关系的体现。部分与部分之间的关系是部分与整体之间关系的扩展，是把部分当成另一个整体。如图2，黑色部分是白色部分的[15]。

“度量”的定义来源于“测量法”，是指将分数理解为分數单位的累加，即通过数（shǔ）分数单位的“个数”，从而得到不同的分数，直至数出假分数，体现出分数是度量数（分数单位）的累加，这里理解分数单位是关键。例如，[47]就是将分数单位[17]累加四次或度量四次的结果。

“运算”是指将对分数的认识转化为运算过程，通常与分数的乘法和除法有关，这里强调分数是一种转换。例如，“[8×34]”可以理解为将8平均分成4份，取其中的3份，即“[8×34]”可以表示为“[8÷4×3]”。

“商”主要指在除法运算中如果除不尽时，其结果可以用分数形式来表示，更准确地说，分数是两个整数的“商”，是可以和其他有理数一样进行加、减、乘、除等运算的数。例如，“[30÷7=4……2]”还可以表示成“[30÷7=427]”或“[30÷7=307]”，这里需要注意的是运算的结果“商”是分数，但分数部分的分母是等号另一边的除数。例如：虽然有“[30÷7=300÷70]”，但却得不出“[300÷70=4……2]”，这是因为“[300÷70=4……20]”或“[300÷70=42070=427]”。

二、分数概念模型

分数是小学数学的重要内容之一，但由于分数意义的内涵比较丰富，教师可借助与学生熟悉的日常事物及活动有关的各种直观模型，使学生感受分数在现实生活中的应用，帮助学生建立分数概念模型。

1.区域或面积模型：用面积的“部分——整体”表示分数

区域或面积模型是“部分——整体”的一种表现形式，是连续量中部分与整体之间的关系，是“比率”意义的一种体现。在区域或面积模型中，分数表示的是把一个连续的整体平均分成若干份，取其中的一部分或几部分与该整体相比较的结果。在一些教材中，分数概念的引入就是通过“平均分”某一图形，取其中的一份或几份来认识分数的。图3就是分数的“区域或面积”的直观模型，涂色部分的面积占全部图形面积的[14]。

2.分数的集合模型：用集合的“子集——全集”来表示分数

分数的集合模型是“部分——整体”的另一种表现形式。当全体是离散的量时，分数的意义就是子集和全集的关系，用集合中的“子集”表示部分即分子，“全集”表示整体即分母。在分数的集合模型中，分数表示的是把一个全集平均分成若干组，取其中的一组或几组与该全集相比较的关系。这里的关键是把“1个东西”平均分过渡到把“1个整体”平均分，也就是说“单位1”不再是“1个物体”了，而是把几个物体看作“1个物体”，作为一个“单位”，所取的“一份”也不是“一个”，可能是“几个”作为“一份”，其核心是将“多个”物体作为“整体1”（如图4）。

3.分数的“线段模型”：用分数表示数轴上的一个点或数值

分数的“线段模型”有两层含义：第一层含义是表明“分数是一个数”。任何两个标准单位为1的区间，分数是位于区间内的一个点，即一个分数对应一个点，分数是实数集的子集;第二层含义是指分数可以表示线段的长度，是分数的测量意义。如[23]可以表示数轴上的0到1之间的一个点，也可以表示数字线上2个[13]线段的长度。分数的“线段模型”是对分数的区域或面积模型及集合模型的进一步抽象和深化，但分数的“线段模型”更有利于学生理解整数、分数和小数之间的关系。

总之，教师应从多个角度理解分数的概念，真正理解分数的本质，在教学中适当运用分数概念模型，建立数学与外部世界的联系，提高学生对分数概念的理解，达到培养学生的数学素养及数学思维的终极目标。

（责编 金 铃）