指向数学核心素养的“圆的面积”教学策略探析

夏婵婵

[摘 要]数学教学是以数学课程为载体，引导学生形成正确的数学价值观念、思维品质和关键能力等学科核心素养。“圆的面积”作为“图形与几何”领域的重要课程内容之一，对培养学生的几何直观、推理能力和空间观念等数学核心素养具有重要意义。结合“圆的面积”的具体教学案例，探寻指向核心素养的“圆的面积”教学策略：借助“数格子”法发展学生的几何直观能力，在“化曲为直”中发展学生的空间观念，从长方形的面积推导圆的面积计算公式，发展学生的推理能力。

[关键词]核心素养;教学策略;圆的面积;图形与几何

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）23-0012-03

一、问题的提出

我国新一轮基础教育课程改革十分关注核心素养和学科核心素养。新修订的《普通高中数学课程标准》指出：“学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力。”数学核心素养是数学素养中最重要的思维品质和关键能力，是人们通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质与能力，通常是在人们与周围环境产生相互作用时表现出来的思考方式和解决问题的策略。课程专家进一步指出，把《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中提到的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识，理解为数学核心素养是恰当的。在很大程度上，课程是教学的基础，教学是课程的实施和体现。在以核心素养为指导的课程设置大框架下，学科教学必须紧跟课程设计的思想和步伐，课堂教学需要深入落实学科核心素养。那么，课堂教学究竟如何体现核心素养？到底什么样的课堂才是素养课堂？是对以往非素养课堂的推倒和重建吗？本文将以小学数学中“图形与几何”领域中的“圆的面积”一节内容为例，尝试探析几点指向数学核心素养的“圆的面积”教学策略。

二、关于“圆的面积”的学科理解与课程内容简析

圆形作为最基本的平面图形之一，在各个国家基础教育数学课程中都是重要的内容。《课标》在“课程目标”中要求“探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题” 。根据课程标准的要求，学生既要理解圆的面积公式的推导过程，掌握圆的面积计算公式，又要能够灵活运用其解决实际生产生活中的具体问题。

“圆的面积”作为小学数学几何课程内容的重要组成部分，是平面图形的认识和测量中由直线图形变为曲线图形的关键点。从研究直线图形到研究曲线图形，无论是思维层面还是行动实践层面，对学生而言都是一个很大的跨越。因此，“圆的面积”一般安排在六年级上学期的课程学习中，是学生学习的第一种曲线图形的面积计算，具体的教学内容包括对圆的面积概念的理解、公式的推导以及运用公式求圆的面积、环形的面积等。

我国2013年修订的人教版教材首先通过计算圆形草坪占地面积的实际情境提出圆的面积的概念，一方面使学生在以前所学知识的基础上理解“圆的面积就是它所占平面的大小”，另一方面使学生体会在实际生活中计算圆的面积的必要性。接着，直接给出了明确的提示——把圆分成若干等份，学生自主拼一拼，然后通过观察看到拼出的是近似的长方形（或平行四边形），而且随着均分的份数越来越多，拼出的图形越来越接近长方形，这时再引导学生运用圆与长方形之间的关系推导出圆的面积计算公式，在随后的练习题中让学生通过实战训练来进一步体会圆的面积与半径的平方之间的关系。

学生主要借助数学活动和动手操作，经历人类发展中圆的面积公式的推导过程，借助已有经验“数”出圆的面积的近似值，感受数学化的过程。面积是对二维平面物体大小的度量，学生学习长方形的面积时首先采用了“数格子”的方法，得出“长方形的面积=长×宽”这一公式，为后续学习奠定基础：一方面可以继续使用数格子的方法求平行四边形、三角形、梯形等的面积;另一方面，可以将未知图形转化为长方形，进而推导其面积公式。对于圆这一“非直边”图形，学生在数格子的动手操作过程中，深刻体会到该方法的不适用性，进而产生探索更科学合理的计算方法的需求。这样的教学已经体现出了数学学科的本质内涵，它与数学家常用的“印度圆”、“定积分”、极限、转化等思想方法基本一致，虽然没有从字面上强调数学学科核心素养，但已经培养了学生的数学学科核心素养。

三、指向数学核心素养的“圆的面积”教学策略

“圆的面积”这一教学内容中不仅蕴含着丰富的数学思想方法，更是发展学生数学学科核心素养的重要素材，具体地说，至少可以培养学生的几何直观能力、空间观念和推理能力。基于以上对课程内容与学科理解的分析，探讨指向核心素养的“圆的面积”的几点教学策略。下面就结合某教师关于该内容的常规教学案例展开具体分析。

1.借助“数格子”法发展学生的几何直观能力

【教学片段1】

学習任务：想办法得到圆的面积。

师：如果想得到圆的面积，有什么方法？画一画、写一写，把你的思路表达出来。想一想：你的办法有什么优点？有什么不足？你还有哪些困惑？

师：请大家讨论汇报交流，不仅要汇报方法，也要评价自己的方法。

生1：数格子的方法。

生2：我认为数格子的方法有局限性，如果圆太大，画格子不方便，计算也不精确。误差来自于不完整的格子，曲线图形拼凑不完整的格子的时候误差大。

生3：可以把格子变小，完整的格子就会变多，虽然不完整的格子也会变多，但是它们所占的面积会变小，这样可以提高计算的精确性。

师（演示格子图逐渐细分的过程，如图1）：如果无限细分下去，会得到什么样的结果呢？

生4：小格子会完全占据圆。

生5：小格子的面积会无线接近于圆，但也没办法等同于圆的面积。

生6：我觉得不会有误差了。

师：如果一直分下去，得到的小格子面积就接近于甚至等同于圆的面积了。

此教学片段体现了“几何直观”这一数学核心素养。

“几何直观”是解决“数与代数”领域问题的常用方法和思维方式，似乎是数与代数的“专利”。例如，分数的乘法中“计算[45]×[23”]时，往往借助几何直观进行教学，如图2所示：

事实上，不仅是“数”需要以几何图形的形式加以直观呈现，几何本身也要依靠直观、重视直观。不妨重新审视《课标》中的阐述：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”

《课标》规定，几何直观指的是利用图形描述和分析问题。教学片段1中，教师通过让学生动手在圆上画一样大小的小方格，1个小方格的面积为1个面积单位，用多个小方格来填充或排满整个圆，进而用小方格的个数来表示圆的面积大小。在这个运用图形来描述和分析问题的过程中，小方格和圆的面积分别与图形和问题一一对应。因此，上述“数格子”法有利于培养学生的几何直观能力，发展学生的数学核心素养。

2.在“化曲为直”中发展学生的空间观念

【教学片段2】

生1：看到這个圆，我就想到了吃比萨，每次都会把比萨切成好几块，我因此受到了启发。首先，我把圆平均分成四份，拼得的图形像平行四边形，如果分得再小块一点是不是会更像呢？我把圆分成了8等份，拼得的图形更像平行四边形了;我把圆分成了16等份，如图3，看上去有点像个长方形了。我猜测，如果分得更细的话，可能会得到一个长方形。

师：把圆的面积转化为已学过的长方形的面积，即把未知变成已知。刚才说拼成的这个图形像长方形但不是长方形，怎么才能让它变成长方形呢？

生2：像数格子一样，一直一直分下去，可能会变成一个长方形。

师：到底能不能达到分割的理想状态呢？ 请小组合作学习。信封中有三个圆片，剪一剪、拼一拼，拼完后仔细观察得到的图形。

师（多媒体演示）：我们发现，分的份数越多，拼出来的图形就越像平行四边形。如果无限分下去，就会变成长方形。

生3：我觉得拼成的图形的边（两条长边）是弯曲的。

……

《课标》指出：“空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言的描述画出图形等。”史宁中教授则明确强调：空间观念的本质是空间想象力。空间观念并非是一个特别抽象的术语，它在日常的数学学习中常有体现。

在教学片段2中，学生通过将圆等分成相同的若干个全等扇形，然后把它们从中心沿半径剪开（此时，扇形的圆弧仍然连着），展开以后，得到两个相同的锯齿条形，再把两个锯齿条形相互嵌入，即构成一个近似平行四边形，如图3。细心的学生能够发现，由于圆弧的存在，近似平行四边形的两个长边略微弯曲，所以教师需要利用信息技术等进一步细分小扇形的弧长，呈现多个不同等分（由少到多）的拼组转化图，动态演示等分圆拼组的逼近过程，即份数分得越多，其形状越接近长方形。这一过程中，教师引导学生经历观察、抽象、想象和转化的思维活动，学生体会到“化曲为直”的思想，在圆形和平行四边形（长方形）的转化中发展了空间想象力，逐渐养成了空间观念。

3.从长方形的面积推导圆的面积计算公式，发展学生的推理能力

【教学片段3】

生1：我发现长方形的宽是圆的半径，长方形的长是圆的周长的一半。（如图4）

师：因此圆的面积是πr2。实际上，科学家在研究圆的面积的时候也是经历了这样的过程，所以数学探索实在是太重要了。圆的周长与圆周率有关系，今天学习的圆的面积也与圆周率有关系。那么，圆的周长与面积有什么关系呢？我们采用的是转化为长方形的方法求得圆的面积，也有人用分解为三角形的方式求得面积，下课感兴趣的同学可以进一步研究。

《课标》指出：“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果;演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定律、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。”教学片段3中，学生通过空间想象和动手操作，将圆先分成若干份全等扇形，继而又转化成长方形，进一步求得圆的面积。学生在观察、比较、分析中，探寻圆的周长和半径与转化而成的长方形的长和宽之间的关系，结果发现“新得的长方形的长相当于圆的周长的一半，宽相当于圆的半径”，然后根据已有知识，即“长方形的面积=长×宽”“长方形的面积=圆的周长的一半×圆的半径=[12]π×2r×r=πr2” ，得出“圆的面积=πr2”。回顾整个圆的面积计算公式推导的过程，学生在长方形与圆形的转化关系基础上，将已有事实和确定的规则即已经掌握的长方形的面积计算公式，迁移应用于圆的面积求解中，按照数理逻辑进行具体数值的计算，进而发展了数学推理能力。

四、结语

数学学科核心素养看似一个新名词或新概念，但实际上并非是一个新事物，它的本质内涵及其教育价值一直都客观存在。以往的课堂教学虽然未提“学科核心素养”，但在很多具体的教学方式方法上也体现出了学科核心素养导向：旨在培养学生的数学思维品质和关键能力，促进学生的终身发展。这与课程专家所提出的“数学核心素养是数学素养中最重要的思维品质和关键能力，是人们通过数学的学习建立起来的认识、理解和处理周围事物时所具备的品质与能力，通常是在人们与周围环境产生相互作用时表现出来的思考方式和解决问题的策略”是准确对接的。因此，在这个关注学科核心素养的“新时代”，指向核心素养的课堂教学方法并不是对以往教学的推翻与重建，而是一个对已有学科理解和经验做法的批判、继承与去粗取精的过程。在接下来的数学课程与教学研究中，不管我们如何开展多样化的探索，还是应当回归到一个基本方向上来，即用数学的眼光看待问题、用数学的思维思考问题、用数学的方法解决问题，这是我们需要秉持的基本思想。当然，在实践层面，指向数学学科核心素养的教学策略探寻，既需要学界进行充分的理论推演和学理思考，还需要一线教师扎实的经验摸索和实践总结。总之，期待我们以集体智慧去发现、归纳和凝练。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社， 2018.

[2] 马云鹏.小学数学教学中核心素养的培养：以吴正宪老师“小数除法”教学为例[J].小学数学教育，2016（21）：3-5.

[3] 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社， 2001.

[4] 史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社， 2013.

（责编 金 铃）