Plate方程指数吸引子的存在性

苏小虎, 姜金平

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

我们考虑如下plate方程

(1)

指数吸引子的存在性，其中：Ω⊂Rn是光滑边界上的有界区域；u=u(x,t)是Ω×(τ,+)上的未知函数；α>0为粘性阻尼；g∈L2(Ω);ε(t)∈C1(R)是有界的单调递减函数，并且满足

假设非线性函数f∈C2(R,R)满足下面条件：存在C0>0,使得：对∀s∈R，有

Plate方程来源于弹性振动方程，近几年对Plate方程吸引子的存在性问题研究十分广泛。有许多学者在不同方向做了研究，文献[1，2]研究了有界域上Plate方程一致吸引子的存在性；文献[3-5]主要研究了在无界区域上Plate方程全局吸引子的存在性;文献[8-9]分别研究了Plate方程时间依赖全局吸引子的存在性和非自制Plate方程时间依赖强拉回吸引子的存在性，马巧珍等人[11,12]对梁方程进行了研究,证明了梁方程指数吸引子及全局吸引子的存在性。受文献[5-9]的启发，本文证明了Plate方程在相空间E0上指数吸引子的存在性。

1 预备知识

定义D(A)={v∈V,Av∈H}|,其中Av=Δ2v，D(A)的内积和范数分别用(Au,Av)和|Au|2=(Au,Au)表示，显然，我们有D(A)⊂V⊂H=H*⊂V*,在这里嵌入都是连续的且其值域是稠密的，其中H*,V*分别表示H和V的对偶空间，记V*的范数为‖·‖V*。因为A是正对称算子,对任意的s∈R,定义V2s=D(AS)上的幂算子As,则内积内积和范数

另外,A是正定的,且有紧逆的自伴算子,若{ωn,n=1,2,…}是A的完备特征向量,则λ1,λ2,…为特征值，且满足

0<λ1λ2…λn…,λn→,n→。

根据Poincae不等式，有

‖v‖≥λ1|v|，∀v∈V。

(2)

定义1.1[6]设{S(t)}t≥0是相空间E上的半群,紧集M⊂E被称为是({S(t)}t≥0,E)的指数吸引子，如果满足下列条件：

(i)S(t)M⊆M,∀t≥0；

(ii)M有有限分形维数，即dimFM<；

(iii)对E中的任意有界集B，存在常数a0，a1>0，使得对∀t≥0，成立

dist(S(t)B,M)a0exp(-a1t)。

根据指数吸引子的定义，若半群存在指数吸引子M,则全局吸引子A⊂M,且分形维数满足dimFA

‖(I-PN)(Su-Sv)‖E‖PN(Su-Sv)‖E

或者有

‖(Su-Sv)‖Eδ‖u-v‖E

成立。

定义1.3[7]若B⊂E有界,{S(t)}t≥0是E上的半群,若存在t*>0,映射S*=S(t*)满足挤压性,则半群{S(t)}t≥0在B上满足离散的挤压性。

定理1.4[7](i)若ε,α>0，g∈Cb(R+;H),对于初值(u0,u1)∈E0,则方程(1)有唯一的解u(t)，使得：

定理1.5[8]假设(H1)-(H2)中的条件成立，B0=BE0(0,ρ0)是(1)生成的解半群{S(t)}t≥0在E0中的有界吸收集，在这里空间E0以0为中心，ρ0为半径的球，则E0中的任意有界吸收集B,∃t0(B)>0,使得当t≥t0(B)时,有S(t)B⊂B0。

定理1.6[8]假设(H1)-(H2)中的条件成立,则(1)在E1中存在有界吸收集BE1(0,ρ1)，有

B0={(u,v)∈V×H=E0:‖u‖2+|v|2

B1={(u,v)∈D(A)×V=E1:|Au|2+‖v‖2

B0和B1是E0,E1中的不变吸收集。其中定义B=B0∩B1作为E0的不变紧集,则在E0是紧的,在E1中是有界的,在B上定义半群{S(t)}t≥0，有S(t)B⊂B。

引理1.7设存在一个常数C,使得

其中z0=(u0,u1),z(t)=(u(t),ut(t))。

证明令ψ=ut,由方程(1)得

ε(t)ψtt+Δ2ψ+αψt+f′(u)ut=0,

ψ(0)=u1,

据参考文献[10]，我们得

用2ψt+2δψ做内积得

其中

Λ(t)=‖ψ‖2+ε(t)‖ψt‖2+δα‖ψ‖2+2δε(ψ,ψt)

利用Hölder与Young不等式

2δ|ε(ψt,ψ)|

其中|ε(t)|L，当这里的δ足够小时，存在

(-f′(u)ut,2ψt+2δψ)2‖f′(u)ut‖(‖ψt‖+δ‖ψ‖)

由Gronwall引理，可得

根据上面定义及定理，下面将依次来验证(1)中半群{S(t)}t≥0在E0中的Lipschitz连续性和挤压性。

为进一步证明，先引入

HN=linearspan{ω1,ω2,…,ωn}

(3)

pN:H→HN,qN=I-PN。

再由投影的定义,我们得到

|u|2

现在令

PN:E0→(pNV)×(pNH),QN=I-PN。

(4)

定义

PN(u,v)=(pNu,pNv),(u,v)∈E0。

(5)

为了方便证明,我们构造函数

N(z)=‖u‖2+|v|2+λ|u|2,∀z=(u,v)∈E0

(6)

和

引理1.8(i)由N(·)导出的范数等价于E0上的范数，即有

‖u‖2N(z)

(8)

(ii)M(z)的范数等价于空间QNE0上的E0范数,取N0=max{N1,N2}足够大,使得

(9)

证明(i)对N(z)=‖u‖2+|v|2+λ|u|2，∀z=(u,v)∈E0,

由Poincaré不等式得

‖u‖2+|v|2+λ|u|2

再者

(ii)由于z=(u,v)∈QNE0,u∈qNV。利用(1.4)得

又由于

(u,v)|u||v|

于是

即引理(1.8)得证。

通过上述定理及引理的证明，下面我们进一步探究在相空间E0上方程(1)是否满足Lipschitz连续及离散的挤压性条件。

2 E0中指数吸引子的存在性

(10)

(ii)令φ=qNω和φ(φ,φt)=QNW。则对于任意的t≥0,M(φ(t))满足微分不等式

(11)

其中C1是与ρ0,ρ1有关的常数,C2是与λ1,α,C1有关,而与φ,W无关的常数。

证明由于ωt满足方程(1),即

(12)

此时，我们令

用ωt与(12)做内积,并且在Ω上积分得

(13)

整理得

(14)

由条件(H2),定理1.5,1.6及Sobolev嵌入定理，存在M>0使得

|f′(u)|LM,|f″(u)|LM。

于是有

(15)

由(1.7)，(13)-(15)我们得

由Gronwall引理得

N(W(t))eβtN(W(0))

由(1.7)范数等价性，即有

(ii)用qN作用于(12)得下面方程

(16)

即有

(17)

又由于φ，φt∈qNV,因此有

‖φt‖V

(18)

(19)

由范数等价性，即有

(20)

结合(18)-(20)

(21)

因此，由上述引理有

(22)

引理2.2对任意的T>0,映射(t,u0)S(t)u0:[0,t*]×B→B是Lipschitz连续的。

证明对u0,u1∈B,t1,t2∈[0,T],有

‖S(t1)u0-S(t2)u1‖E0‖S(t1)u0-S(t1)u1‖E0+‖S(t1)u1-S(t2)u1‖E0。

(23)

由引理1.7得

‖S(t1)u0-S(t2)u1‖E0=‖u(t1)-u(t2)‖E0‖ut(y)dy‖E0C|t1-t2|。

因此

‖S(t1)u0-S(t2)u1‖E0L[|t1-t2|+‖u0-u1‖E0]。

(24)

定理2.3选取t*，N=max{N0,N1,N2},满足

(25)

和

(26)

则E0中的有界子集B上的解算子{S(t)}t≥0满足Lipschitz连续和离散的挤压性。如果

‖pNW(t*)‖E0‖QNW(t*)‖E0

则

证明对(22)运用Gronwall引理，得

M(φ(t))

由(25)和(26)有

由上述定理得到解半群S*=S(t*)在E0中离散的指数吸引子M*

定理2.4在方程(1)中，设{S(t)}t≥0是相空间E上的半群,如果半群{S(t)}t≥0在非空紧正不变集合B⊂E0中满足离散的挤压性,则映射S*=S(t*)生成的离散动力系统存在一个指数吸引子M*若映射(t,u0)S(t)u0:[0,t*]×B→B是Lipschitz连续映射，则集合是{S(t)}t≥0在E0中的指数吸引子。