基于改进灰色关联分析的雷达费用驱动因子选取方法

张长聪，刘庆华，刘 根，方其庆，夏 亮

(1.空军预警学院， 武汉 430019； 2. 73127部队， 福州 350500)

影响雷达装备全寿命周期费用的因素很多，主要包括性能、物理、时间和计划等因素。能够找到对雷达装备费用影响显著的费用驱动因子，就可以对显著相关因素进行权衡与控制，也可以依据选取的费用驱动因子，估算雷达装备的研制、采购等费用，对装备选型和采购决策具有重要的指导意义[1-3]。

数据信息少和影响因素多是雷达装备费用预测中的两个难点[4]，而灰色关联分析因其具有数据信息利用率高、计算简便等特点，适合应用于具有小样本、贫信息的雷达装备费用驱动因子的筛选。文献[5-7]中均是基于灰色关联分析的变量或指标的筛选，并未对灰色关联分析存在的不足进行改进；文献[8]中通过引入分辨系数，给出了改进广义灰色关联度的表述形式，并证明了分辨系数与关联序列的独立性；文献[9]中在传统灰色关联分析的基础上，引入熵权理论对灰色关联系数进行赋值，有效克服了专家赋权和平均加权法的缺陷;文献[10]中通过引入模糊数学中的贴近度原理提出了改进的模糊灰色关联分析模型。运用传统灰色关联分析模型对雷达装备费用驱动因子进行选取过程中，存在数据量纲不同、分辨系数取值不科学、平均关联度以及未考虑局部波动性等问题，而以上方法均是针对传统灰色关联分析在实际应用中存在的部分问题而做出的相应改进，未对传统灰色关联分析模型本身进行全面的分析与研究，难以保证费用驱动因子筛选结果的准确性和可靠性。

针对这种情况，本研究梳理了传统灰色关联分析模型在变量选取中存在的不足，提出改进的灰色关联分析模型。首先对数据进行无量纲化处理，然后通过科学判定分辨数、熵权法确定权重以及引入欧几里得距离贴近度原理，建立改进灰色关联分析模型，最后结合实例进行对比分析。

1 传统灰色关联分析及其存在的不足

1.1 传统灰色关联分析

灰色关联分析是灰色系统理论中重要的分支，是分析灰色系统中影响因素之间相互关联程度的一种度量方法，其基本思想是根据相关序列曲线的相似程度来判断序列间的关联性。在雷达装备费用驱动因子的选取过程中，灰色关联分析过程实质上是比较数据样本中各型雷达装备费用所构成曲线与各性能参数数据序列所构成曲线相互间的拟合程度，曲线拟合程度越高，关联程度也就越大，反之关联度越小[11]。

设原始数据序列矩阵为X,则有：

系统特征序列：

X0={x0(1),x0(2),…,x0(n)}

相关因素序列：

Xi={xi(1),xi(2),…,xi(n)}，i=1,2,…,m

设Δi(k)为X0与Xi对应分量之差的绝对值，则有：

Δi(k)=|x0(k)-xi(k)|，k=1,2,…,n

(1)

从而可得到数据序列X0与Xi在k点的灰色关联系数为：

(2)

式中：ρ(0<ρ<1)为关联分辨系数，理论研究表明[12]，当ρ≤0.546 3时，灰色关联分析模型的分辨率较好。

于是可计算系统特征序列X0与第i种相关因素序列Xi的平均关联度为：

(3)

若灰色关联度大于或等于0.5，则可认为系统特征序列与相应相关因素序列存在关联性。

1.2 传统灰色关联分析存在的不足

1) 传统方法在进行关联度分析时，系统特征序列与各相关因素序列的意义、量纲不同，直接对其进行关联分析，会对分析结果产生干扰和影响。

2) 由式(2)可知，分辨系数ρ值的大小会对关联度的大小产生影响，从而影响变量的排序。即使两个相关序列曲线的形状几近相同，也有可能因其位置不同而导致关联度不同，进而引起误差。

3) 由式(3)可知，传统灰色关联度没有考虑到不同观测序列中的各个因子对关联空间影响程度的差异性，因而准确性也无法得到保证。变化因素对系统整体的影响有轻有重,若关联分析时没有全面考虑其重要程度，则可能会产生错误的结论。

2 改进灰色关联分析模型

针对传统灰色关联分析模型在进行影响因素筛选时存在的局限性，结合雷达装备费用驱动因子选取的实际情况，为使结果更加符合实际，提高费用预测精度，从数据无量纲化处理、分辨系数确定、熵权法确定权重和引入欧几里得贴近度等方面对传统灰色关联模型做出改进。

2.1 数据无量纲化处理

雷达装备全寿命周期费用各影响因素不仅在量纲上不同，而且在数量级上也存在差异，为减小随机因素对分析结果产生干扰和影响，需对原始数据作进一步处理。由于雷达费用相关因素序列之间不存在数据的运算关系，因而采用具有运算关系的数据处理方法显然不合适。因此，本文选用初值化算子对原始相关因素序列进行无量纲化处理。

设原始数据无量纲化处理后的数据序列矩阵为X′,则有

系统特征序列：

相关因素序列：

对原始数据序列作无量纲化处理:

(4)

(5)

式中：k=1,2,…,n，i=1,2,…,m。

对式(1)作变形可得：

(6)

2.2 确定分辨系数

在费用驱动因子选取过程中，分辨系数ρ的取值会对选取结果产生一定的影响。由式(3)可以看出，ρ的大小会直接影响到maxΔi(k)对ξi(k)的贡献度。当maxΔi(k)远大于Δi(k)时，ξi(k)的计算值接近于1，计算出来的关联度相差也就很小，此时应削弱maxΔi(k)的影响，减小ρ的取值；当maxΔi(k)与Δi(k)相关不大时，若ρ取值较小，则计算出来的关联度均很小且难以区分，此时应增强maxΔi(k)的影响，增大ρ的取值。因此应根据实际应用情况，确定分辨系数ρ的取值范围[13]。

设ΔT为所有差值绝对值的平均值，则有

(7)

2.3 熵权法确定权重

在雷达装备费用驱动因子筛选过程中， 不同雷达装备在影响因素中所占的比重不同， 必须对不同的雷达装备赋予相应的权重，该权重反映了各雷达装备在收集的所有雷达装备中的重要程度。合理分配权重是准确选取费用驱动因子的基础，权重的确定方法主要分为主观赋权和客观赋权。主观赋权由于带有较大的主观性和随意性，且易受限于专家的知识和经验的完备性；客观赋权则是依据数据之间存在的客观关系来确定权重，其中应用最为广泛的客观赋权法就是熵权法[14]。 因此，本文采用该方法确定各型雷达装备在影响因素评语下的权重，从而解决传统灰色关联分析模型存在平均关联度的问题。

设有n种雷达装备J1,J2，…,Jn，每种雷达装备有m种影响因素，形成m×n阶数据矩阵R=(rik)m×n：

(8)

式中，rik为第k种雷达装备在第i种影响因素下的数值，i=1,2,…,m，k=1,2,…,n。

熵权法确定权重的求解过程如下：

步骤1计算第i种影响因素在第k种雷达装备下的比重pik：

(9)

步骤2计算第k种雷达装备的熵值ek：

(10)

步骤3计算第k种雷达装备的熵权值wk：

(11)

经过上述计算，可得到各型雷达装备在影响因素评语下的权重W=[w1,w2,…,wn]。结合熵权法确定权重，将式(3)作变形可得到灰色加权关联度为：

(12)

2.4 引入欧几里得贴近度

欧几里得距离(Euclidean Distance，ED)，是计算空间中两点距离的常用方法[15]。针对传统灰色关联分析存在的问题，从各点关联系数相对于平均关联系数的波动情况入手，引入欧几里得贴近度原理，对灰色关联分析加以优化，结合熵权法确定权重，提出改进灰色关联分析模型。

灰色欧几里得关联度为：

(13)

考虑到熵权法确定权重，对式(13)作变形可得灰色欧几里得加权关联度：

(14)

设εi(k)为关联系数ξi(k)与加权关联度γi的差值，即：

εi(k)=ξi(k)-γi

(15)

则有：

ξi(k)=εi(k)+γi

(16)

将式(16)代入式(14)可得到改进灰色关联分析模型的关联度：

(17)

2.5 改进灰色模型的计算步骤

作为灰色系统的主要内容之一，灰色关联分析因其操作容易、计算简便等特点，在变量选取中得到广泛应用。灰色关联度表征了不同数据序列间的误差程度，而灰色关联分析则是通过各相关因素序列与费用序列的关联度大小来进行费用驱动因子的选取。本研究在传统灰色关联分析的基础上对数据进行无量纲化处理，确定分辨系数，并引入熵权法和欧几里得贴近度，得到了改进灰色关联分析模型，其具体计算步骤如下:

步骤1 数据处理

步骤2 确定分辨系数

在数据处理的基础上，分别利用式(6)、式(7)求出Δi(k)和ΔT，并通过计算分析进一步得到maxΔi(k)、minΔi(k)和δ。依据求得的δ值的大小确定ρ的取值范围，进而确定ρ的取值。

步骤3 计算权重

在数据处理的基础上，利用n种雷达装备的m种影响因素建立数据矩阵R=(rik)m×n；按照熵权法的求解过程求得各雷达装备在影响因素下的权重wk。

步骤4 计算灰色关联度

改进灰色关联分析模型的计算流程图如图1所示。

3 实例计算

为验证改进灰色关联分析模型的可行性，本研究收集了部分在役对空情报雷达的购置费及其战技术性能指标，结合德尔菲法进行4轮专家意见征询，从中选取6部雷达装备(记为J1～J6)的购置费用及其7个驱动因子：探测维度、最大探测距离、最大探测高度、距离分辨率、方位分辨率、点迹处理容量和航迹处理容量，分别记为X0、X1～X7，建立原始数据矩阵X。按照本文提出的改进灰色关联模型的计算步骤，对雷达装备费用驱动因子进行分析，得到影响雷达装备费用的显著驱动因子。

步骤1 数据处理

首先采用专家打分的德尔菲法对原始数据序列中的定性数据定量化，通过10分制评分规则，对定性数据序列探测维度X1中的两坐标和三坐标分别打7分、9分，使其定量化。然后采用初值化算子对经过定量化处理后的原始数据序列进行无量纲化处理，经过处理后的数据见表1所示。

图1 改进灰色关联模型计算流程框图

雷达型号J1J2J3J4J5J6X01.00 0.40 1.04 0.74 1.97 2.77 X11.00 0.78 0.78 1.00 1.00 1.00 X21.00 0.42 0.63 0.67 0.73 0.69 X31.00 0.53 0.53 0.83 0.83 0.83 X41.00 3.33 0.67 0.50 0.05 0.33 X51.00 0.41 0.35 0.11 0.24 0.38 X61.00 0.05 1.00 0.02 1.00 0.20 X71.00 0.04 0.60 0.07 0.50 0.10

步骤2 确定分辨系数

在数据无量纲化处理的基础上，利用式(6)、式(7)，分别求得ΔT=0.83，Δi(k)的结果如表2所示。通过表2分析可知：maxΔi(k)=2.93、minΔi(k)=0，从而进一步可求得δ=0.28<1/3；依据ρ值的判断条件，可知ρ的取值范围为：0.28<ρ<0.42，因此ρ值取0.3。

步骤3 计算权重

在数据无量纲化处理的基础上，建立数据评价矩阵R=(rik)m×n；利用熵权法计算各型雷达装备在费用影响因素评语下的权重，依据式(9)～式(11)，求得各型雷达装备权重W=(0.182 1,0.156 9,0.206 4,0.076 1,0.224 4,0.154 1)。

表2 雷达费用驱动因子差值序列

步骤4 计算灰色关联度

表3 改进灰色关联模型的关联系数

4 对比分析

为了突出本文模型的优越性，将其与传统灰色关联模型以及考虑分辨系数后的传统灰色关联模型和考虑权重后的灰色加权关联模型进行比较。从表4可以看出，在分别考虑分辨系数、权重以及引入欧几里得贴近度之后，雷达装备费用驱动因子的关联度均发生了不同程度的变化。为了更好地说明各模型之间得出结果的差异性，结合表4，本研究进一步给出了灰色关联分析模型改进前后的关联度曲线，如图2所示。

综合分析表4、图2可知，首先ρ的取值会影响到费用驱动因子关联度的大小，但对驱动因子的排序并未产生变化，ρ值越小，分辨率越高，求得的关联系数和关联度也就越小，反之越高。事实上，经验证当ρ的取值与传统灰色关联模型的ρ值偏差较大时，会对驱动因子的排序产生影响，验证过程不再赘述。其次，当ρ值一定时，引入权重，对关联度大小影响不大，但驱动因子的排序却产生了变化，从而对驱动因子的筛选结果产生影响，因此在进行关联分析时须加以考虑各影响因素对系统整体的影响程度。最后在考虑分辨系数和权重的基础上，引入欧几里得贴近度原理，从结果分析可以看出，引入欧几里得贴近度后，不仅对关联度大小产生影响，而且也使驱动因子的排序产生了变化，同样在进行灰色关联分析时须对其进行考虑。

表4 灰色关联分析模型的关联度

图2 灰色关联分析模型的关联度曲线

为了体现本文方法在进行雷达费用驱动因子筛选的合理性和适用性，取表4中传统灰色关联分析模型和本文分析模型关联度较大的前5个驱动因子，分别构建购置费-性能参数多元线性回归模型并对6种型号对空情报雷达购置费进行预测，预测结果和相对误差如表5。从结果可知，改进前后的平均相对误差分别为：10.29%、7.67%，改进后的灰色关联分析模型平均相对误差比传统灰色关联分析模型提高25.44%。结合表5预测结果，进一步给出了基于两种费用驱动因子选取方法进行线性回归分析的实际购置费与预测值曲线，如图3所示。从图3可以看出，基于改进后的灰色关联分析模型筛选出的费用驱动因子进行费用预测的预测值曲线与实际数据曲线拟合度更高，更为接近实际购置费，结果更加符合实际情况。综合以上分析，本文模型相比传统灰色关联分析模型在雷达装备费用驱动因子选取中更具合理性和适用性，从而提高雷达装备费用预测精度。

表5 线性回归模型计算结果

图3 实际值与预测值曲线

综上所述，相较传统灰色关联分析模型，改进后的灰色关联分析模型在进行雷达装备费用驱动因子筛选时结果更具准确性和可靠性，评价精度较高。显然，该方法同样适用于判定雷达装备费用与特征参数或其他物理量之间的关联程度，删减影响因素，从而简化计算、提高预测精度。

5 结论

针对传统灰色关联分析模型在雷达装备费用驱动因子选取过程中存在的局限性，在研究传统灰色关联分析模型的基础上，通过数据无量纲化处理、科学判定分辨系数、熵权法确定权重和引入欧几里得贴近度，提出了改进灰色关联分析模型。通过实例计算和模型对比分析，并结合多元线性回归模型对灰色关联分析模型改进前后的驱动因子筛选结果进一步验证。结果表明，该方法能够有效解决传统灰色关联分析模型的不足，提高费用预测精度，分析结果更具合理性和适用性，对装备部门进行装备选型和采购决策具有重要的指导意义。