反序上下解条件下二阶多点边值问题

李海艳， 王 敏

(1．四川大学锦城学院，四川成都611731; 2．成都工业学院人事处，四川成都611730)

0 引言

微分方程边值问题在应用数学和物理学领域有着广泛的研究．关于微分方程的边值问题解的存在性也得到了广大学者的关注［1－14］．寻求边值问题解的方法非常丰富，其中上下解方法结合单调迭代技术是求解边值问题的有力工具．单调迭代方法可以用于逆序上下解的情形，即凡是反极大值原理成立的边值问题都可以采用这种方法，典型的有奇异边值问题、周期边值问题和 Neumann 问题［15－17］．

受文献［16－17］的启发，本文运用反序上下解方法结合单调迭代技巧和压缩映像原理研究了如下的多点边值问题:

n－2其中，ωi∈［0，+!)，且满足 0 ＜ ∑i=1ωi＜ 1，(i=1，2，…，n－2)，0＜ξ1＜ξ2＜…＜ξn－2＜1，

1 相关引理及其证明为了研究问题(1)，考察边值问题

其中，φ∈C(I)，a为任意常数．本文假设:

引理 1．1 边值问题

具有如下的格林函数

由此可得

在格林函数的第一个式子中，令t=0，由边界条件u(0)=0，可得 q1=0．

即有i=1

将上面2组等式联立可得

综上，可得格林函数G(t，s)，证毕．

注1 若(C1)成立，则容易验证对任意的t，s∈［0，1］，G(t，s)≥0，并且有

对，有

且R≥N．

引理 1．2 u∈C2(I)是边值问题(2)的解，当且仅当u∈C(I)是下面积分方程的解．

证明 假设G(t，s)是方程

的格林函数，且u0(t)是方程

的一个解，则边值问题(2)等价于

假设u0(t)=p1cost+p2s int，结 合可得

因此，边值问题(2)等价于

即u∈C2(I)是边值问题(2)的解，当且仅当u∈C(I)是下面积分方程

的解．证毕．

引理 1．3 假设u∈C2(I)满足

则 u(t)≤0，t∈I．

证明 令 φ(t)= －u″(t)－Nu(t)，则 φ(t)≥0，t∈I．

考虑边值问题(2)，其中 a≥0．由引理 2．2可知，边值问题(2)等价于

定义 1．1［18］令 E 为 Banach空间，P 为 E 中的一个锥，若存在M＞0，使当θ≤x≤y(θ为E中的零元)，恒有‖x‖≤M‖y‖，则称P为正规锥．

引理 1．4［18］令 E为一个半序 Banach空间，{xn}E是一个单调序列且为相对紧集，则序列{xn}收敛．

引理1．5［18］令E为一个半序Banach空间，xn≤yn(n=1，2，…，n);若 xn→x*，yn→y*，有x*≤y*．

2 存在性结果

考察下面的边值问题

结合引理1．2，可知边值问题(4)等价于积分方程

定义算子F:C(I)→C(I)有

显然算子F:C(I)→C(I)是全连续算子．

引理 2．1 u∈C2(I)是边值问题(1)的解当且仅当u是算子F的不动点．

定义 2．1(比较定理) α0∈C2(I)称为边值问题(1)的一个下解，若

类似地，β0∈C2(I)称为边值问题(1)的一个上解，若

定理 2．1 假设(C1)成立，设 β0和 α0分别是边值问题(1)的一个上解和下解，并且 β0(t)≤α0(t)(t∈I)，且 f满足

(C2)f(t，x) － f(t，y) ≤ N(x － y)，t∈ I，β0(t) ≤y≤x≤α0(t)，则边值问题(1)在［β0，α0］中具有最小解u*(t)和最大解u*(t)，且βn(t)→u*(t)，αn(t)→u*(t)(n→!)关于 t∈I一致，这里

证明 根据引理2．1，只需证明算子F在［β0，α0］中有最小不动点和最大不动点．

当 β0≤u1≤u2≤α0时(即 β0(t)≤u1(t)≤u2(t)≤α0(t)，t∈I)，由算子 F 的定义有故由(C2)和注 1，有 f(s，u1(s))－Nu1(s)≥f(s，u2(s))－Nu2(s)，G(t，s)≥0，即 Fu1≤Fu2，因此 F是增算子．

下证 β0≤Fβ0，Fα0≤α0．

令 Fβ0=β1，v=β0－β1，由算子 F 的定义

再注意到β0是上解，由上解的定义可知

即－v″－Nv≥0．

再由引理 1．3，有 v(t)≤0，即 β0－β1=β0－Fβ0≤0，从而 β0≤Fβ0．

类似地，可证 Fα0≤α0．由以上证明及(C2)可得

再由{βn}，{αn}F(［β0，α0］)，易知{βn}，{αn}是单调序列，且为相对紧集，由引理1．4可知存在u*，u*∈C(I)，使得 βn→u*，αn→u*(n→!)．

由 F 的连续性，u*=Fu*，u*=Fu*(n→!)，故u*、u*为F的不动点．

下证u*、u*分别是边值问题(1)在D中的最小解和最大解．

假设 w∈［β0，α0］是 F 的不动点，则 β0≤w≤α0．由于 F 为增算子，则有 Fβ0≤Fw≤Fα0，即 β1≤w≤α1，依次可知 βn≤w≤αn．不等式两端取极限，结合引理1．5，可得 u*≤w≤u*，即 u*、u*分别是算

3 主要结论

子F的最小不动点和最大不动点，因此，u*、u*分别是边值问题(1)的最小解和最大解．证毕．

定理 2．2 假设(C1)和(C2)成立，且f满足:(C3)存在常数 X且 0＜X＜N，若 R≥N，有f(t，x)－f(t，y)≥X(x－y);

(C4)存在常数X且 N－R＜X＜N，若 R＜N，有 f(t，x)－f(t，y)≥X(x－y)．

则边值问题(1)在 C(I)∩［β0，α0］中具有唯一解．

证明 只需证明算子 F在 C(I)∩［β0，α0］中具有唯一不动点．根据假定，得

于是，由压缩映像原理知F在C(I)∩［β0，α0］中具有唯一不动点．证毕．

本文研究反序上下解条件下二阶多点边值问题解的存在性和唯一性．根据方程的结构，定义了算子F，当算子F映序区间入序区间时，利用反序上下解方法研究该类问题不动点的存在性．引入增算子，给出单调迭代序列，证明了最大解和最小解的存在性，并运用压缩映像原理讨论解的唯一性．