变量线下面积法在高中物理解题中的应用

张孟琦 黄荐

【摘要】物理是对生产生活现象的解释，在高中阶段由于没有学习微积分知识，致使高中生对某些抽象的物理问题不仅存在解题困难，更主要的是不易理解题面的内涵及物理意義。为此利用变量线下面积对典型高中物理问题进行解释，并利用变量线下面积法进行求解分析，可为高中学生加深对物理知识的理解，培养物理学习兴趣提供帮助和参考。

【关键词】物理 变量 线下面积法

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）33-0190-02

文字、公式、图形是物理学中的三大表达方式，特别在高中阶段由于学生的数学基础比较薄，借助图形手段进行复杂问题求解是非常有效的手段，图形可以使复杂的、动态的物理过程变得更加直观。

一、线下面积法求解运动学问题

在实际产生和生活中存在很多现象都是1个或1个以上变量在时间上累计的结果，如速度和位移之间的关系。匀速直线运动的路程是速度和时间的乘积，即S=V0·t，如图1（a）。对于初始速度为V0，加速度为a的匀加速直线运动，可以将时间t分成n段，在每段内速度近似不变，则在时间t时，路程为S=·V，如图1（b）；当n取得足够多，即△t=足够小，有S=V0·t+a·t2，如图1（c）。由此可知直线运动的路程为V-t图中某一时刻速度与坐标轴所包围的面积，对更加复杂的运动问题也可用线下面积法求解位移，如图1（d）。

二、线下面积法求解力对物体做功问题

力对物体做功问题也可以采用线下面积法求解。力对物体所做的功为力与力作用方向上物体位移的乘积，即W=F·S，作用在物体上的力F和物体的位移S可能都是随时间变化的，此时如图1所示的简单面积法就无能为力了。严格意义上力对物体所做的功可以用外力F（t）、物体在力作用方向上的速度V（t）和作用时间t的积分表示，即：

W（t）=F（t）·S（t）dt=F（t）·V（t）·tdt （1）

如果F（t）和V（t）中某一项是不变的或者随时间线性变化的，则有V（t）=V0+a·t，代入式（2）得

W（t）=F（t）·（V0+a·t）dt （2）

对于F（t）和V（t）都是不变的，则力对物体所做的功如式（3）和如图2（a）所示。

W=F·S=F·t×V=F·t×V=AF·V=F×V·t=F·AV （3）

如果作用在物体上的力F（t）是变量，物体仍做匀加速直线运动，则力F（t）对物体所做的功如式（4）和图2（b）所示。

W=F（t）（V0+at）dt=V0·F（t）dt+a·F（t）tdt

=V0·AF+a·tc·AF=（V0+a·tc）·AF=hc·AF （4）

如作用在物体上的力F（t）是恒定的，即F（t）=F，物体仍做匀加速直线运动，则F对物体所做的功如式（5）和图2（c）所示。

W=F（t）（V0+at）dt=V0（F·t）+a·t·（F·t）=AF（V0+a·t）（5）

由此可知：对于2个变量x和y在时间上累计的问题，可以采用x变量的线下面积Ax与x变量线下面积相对应的y变量高度hyc的乘积来计算，如式（6）所示，该方法的适用条件是两个变量中有一个变量随时间线性关系变化。

三、线下面积法求解碰撞问题

棒球运动中球棒击打棒球，车辆追尾，台球运动中两个球之间的碰撞等都属于碰撞问题，其特点是碰撞力是随时间变化的，先增大后减小，对于此类现象求解最大碰撞力也可以采用线下面积法。

例：架设台球的质量为170g，白球以9m/s的速度撞击另一球后，白球静止，另一球以9m/s的速度运动，假设碰撞力先从0线性增大到最大值后再线性降到0，碰撞过程两球的接触时间为0.03s，球两球碰撞时的最大碰撞力是多少？

析：该题没有给出碰撞力发生的最大时间，只是给出了总的碰撞接触时间为0.03s，常规解法比较困难，如果利用线下面积法就比较直观，如图3所示。碰撞力随时间呈三角形变化，碰撞过程中一个球的动量变化量为碰撞力的线下面积，由此得：

四、结论与心得

物理是一门应用性较强的学科，在高中阶段对于比较抽象的物理问题如果生背硬记教材上的定理公式，不仅理解深度不够，而且在解题过程中也可能遇到一些困难。借助图像法可以加深对对高中物理问题的理解，运用变量的线下面积求解较抽象复杂的问题有助于提高物理学习兴趣和能力。

参考文献：

[1]崔伟健.高中物理图像中“面积”的意义和应用[J].物理之友，2018（08）：43-45.

作者简介：

张孟琦（2001-），女，满族，吉林伊通人，高中在校学生。

黄荐（1989-），男，汉族，四川南充人，博士生，研究方向：工程力学。