浅谈导数在高中数学教学中的应用
2019-08-30彭国荣
摘要：在高中教学内容中，导数占据着重要的地位，并且通常在数学考试中以压轴题目出现，另外还是学生以后学习微积分的基础。合理应用导数可以拓宽解决中学问题的视野，可以说导数是解决数学问题的有力工具。本文结合相关教学经验，分析导数在高中数学中的应用。
关键词：高中数学；导数应用；解决问题
作为高中数学中的重要内容，导数本身就具备工具性质，是解决数学问题的重要工具。在高中数学教学内容中，有关导数有着较为详细的介绍，并详细论述导数的概念与几何意义，通过函数的变化率刻画函数变化的趋势。导数教学内容是对函数性质与图像的总结与延伸，是研究函数、几何问题、证明不等式的重要工具，并且通过导数可以实现生活中最优化问题的解答。下文从函数、几何、证明不等式详细论述导数在高中数学的应用，并应用导数解决生活中实际问题，以此实现导数意义的探究。
一、 利用导数研究函数问题
在函数问题研究过程中，主要考虑函数的图像、单调性、函数的零点、函数的极值、函数的最值，导数知识的引入可以更加方便地研究这些问题。一个函数在一段定义域内若为减函数，则f（x）的导函数f′（x）小于0，反之，若一个函数在一段定义域内为增函数，则f（x）的导函数f′（x）大于0。通过导函数的图像可以很好地判断图像是否属于原函数，例如：函数f（x）在定义域内可导，导函数f′（x）的图像如下图所示，则函数f（x）的图像可能为（）
在这类习题解答时，这要正确分析导函数图像与原函数图像之间的关系即可，导函数中小于零对应的原函数为递减区间，由此分析可以得知，原函数的图像应为递减、递增、递减、递增趋势，因此答案为B。
二、 利用导数求解解析解析结合问题
在导数教学内容中，导数的几何意义为：曲线f（x）在点x0处的导数为在这一点的切线斜率，切线夹角为α，则f′（x0）=tanα。借助导数的几何意义，可以很好地求解曲线切线问题，尤其是在求解椭圆、双曲线、抛物线等曲线图形求解时，应用原本的曲线公式求解切线十分复雜麻烦，而应用导数可以很好地简化求解过程，实现计算的简化。例如：求垂直于2x-6y+1=0并且和曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程。
解：由于所求得的直线方程与已知直线垂直，则所求的直线斜率为k=-3，又因为所求直线与曲线相切，则斜率满足k=3x2+6x，通过这一公式的解答可以得出切点的横坐标，再将得到的切点横坐标x=-1代入曲线方程，可以得出切点为（-1，-3），依据斜率和切点可以得出直线方程：3x+y+6=0。如果没有导数知识的引入，还需要设出直线方程，将直线方程带入到曲线公式中，而应用导数可以简化很多求解步骤。
三、 利用导数证明不等式问题
在不等式证明方法中主要包括换元法、综合法、归纳法、分析法，但是对于含有指数或者对数的不等式证明习题，这些方法却无法得心应手，而导数方法的引入，可以很好地解决这些问题，简化计算步骤。
例如：已知0 对于这道证明题，上述中的证明方法都无法很好地入手，并且综合分析很容易出现错误，并且分析找不到相应的切入点，而应用导数就可以实现问题的清晰解答。 证明：要证ab 在导数的帮助下，学生对于不等式的学习会更加感兴趣，在导数工具的帮助下，可以更加得心应手地解决实际问题。 四、 导数在实际生活中的应用 传授学生知识的目的是引导学生灵活运用相关知识解决实际问题，导数知在解决实际生活问题中也有着很大的用处，在高中数学教学中引入相关问题有助于提升学生的解决实际问题的能力。例如：将进货单价为90远的某商品按100远一个出售，能卖出500个，已知这种商品如果每个涨1元，其销量就会减少10个，为了获得最大利润，售价应定为多少？ 解：设：涨价x元，总利润为y元。 由题意得y=f（x）=（10+x）（500-10x）（0≤x≤49）（单个利润×销量） （y=-10x2+400x+5000） f′（x）=-20x+400。 令f′（x）=0，解得x=20 f（0）=5000，f（20）=9000，f（49）=590。 所以当涨价20元时有最大利润9000元，售价应定为100+20=120元。在导数的应用下，本来计算较为麻烦的实际问题得到有效解决，并且解答过程十分简洁，思路清晰。 五、 结语 总而言之，在高中数学教学内容中，作为工具的导数知识在解决各类数学问题时都能够发挥良好的作用，在实际教学中，教师要深度开展导数内容教学，引导学生建立导数思维，以及灵活运用导数知识，实现问题的简化解答。另外，在教学中，教师要注重导数知识的迁移，引导学生运用导数知识分析与解答实际问题，实现学以致用。 参考文献： [1]马艳.浅谈导数在高中数学中的应用[J].基础教育论坛，2016（22）：34-36. [2]朱雅琪.浅谈导数在高中数学解题中的应用[J].知识文库，2017（2）. 作者简介：彭国荣，福建省宁德市，福建省宁德市实验学校。
