特征值问题案例分析及计算思维的训练

赵凤　袁玲　陶丽娜

【摘 要】通过共享单车的投放问题，引入特征值与特征向量的应用。探索解决实际问题的思路，引导建立数学模型的方法，并对特征值与特征向量的求解进行了回顾及演练，提出更多的求解思路，扩展学生的思维，以达到对学生计算思维的训练及创新能力培养的目的。

【关键词】特征值;特征向量;计算思维

中图分类号： C81 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）20-0101-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.20.047

0 引言

特征值及特征向量是生物学、工程领域和经济领域中应用广泛的一个重要知识点，也是线性代数课程教学大纲要求掌握的知识点之一。比如，生物种群数量问题、经济发展问题、斐波那契数列的矩阵方法求解等问题都依赖于特征值與特征向量[1]。方阵特征值及特征向量的概念虽然抽象，但是其探索性的性质及广泛的应用价值，非常有利于培养学生的自主思考探索能力、创新能力，其简化问题和求解方法有益于训练学生的计算思维能力。本文在已有的教学方法基础上，结合计算思维的训练，阐述了特征值案例教学的思路。

1 问题引入

引例：共享单车的投放和运营模式为什么是可行的？

共享单车已成为当下人们出行的一种便捷方式，其车辆的投放与调配问题也是一个现实的问题。为了简化问题，我们假设A大学在校内投放一批共享单车，共设置3个投放点，标号为1、2、3。据学校统计，每天1号停放点的60%车辆会被骑到其他停放点后又返回1号点，余下会被停留在2号和3号点，且各占20%;每天2号点有50%车辆返回原处，而30%、20%分别停留在1号和3号停放点;而3号停放点的每天被停留在1号、2号停放处的各占30%，余下的40%会返回停放至3号点。假设投放的车辆数是不变的，问：经过足够长时间后，学校3个停放点的车辆是否越来越不平衡？如果不平衡，该如何调配？

3 问题求解

通过以上问题分析及模型的建立，学生基本能把实际问题与理论知识理性的联系起来，下一步就是对上述猜想做严格的验证。

运用数学归纳法推算出第2天、第3天……第n天各停放点的车辆数关系：xn=Mxn-1=M2xn-2=…=Mnx0，结合稳态的概念，推出稳态的条件为存在某一n，使得Mnx0=x0。结合特征向量的概念知即为求矩阵M的对应特征值为1的特征向量问题。

因为M的特征方程为

|λE-M|=λ-0.6 0.3      0.3  0.2   λ-0.5   0.3  0.2     0.2   λ-0.5=0

解得M的特征值分别为λ1=1，λ2=0.3，λ3=0.2，其对应的特征向量分别为p1=0.7250.5440.423，p2= 0.707-0.707    0，

p3=    0-0.707 0.707。而稳态问题是求矩阵M的对应特征值为1的特征向量问题。由此可知，经过一定时间后，校园各停放点的车辆会趋于稳定状态。稳态下，这三个停放点的车辆比为：0.725：0.544：0.423。

4 计算思维的训练和扩展学习

归纳方阵M的特征值及特征向量的一般计算方法：（1）由特征方程|λE-M|=0解出所有的根，在复数域上一共有n个（重根重复计算）;（2）将λi分别带入（λiE-M）x=0，求出方程组的基础解系，其基础解析的线性组合即为λi所对应的全部特征向量[2]。

进一步，定义矩阵的互逆变换[3]：（1）互换i、j两行，同时互换i、j两列;（2）第i行乘以不为零的数k，同时第i列乘以不为零的数■;（3）第j行的k倍加到第i行（ri+krj），同时第i列的-k倍加到第j列（cj-kci）。

设A=2 45 3构造分块矩阵AE■，将A运用互逆变换化为对角型后记为A'N，观察A'中非零元素、N的列向量，并与常规方法求解出的A的特征值与特征向量的进行比较，得出特征向量及特征矩阵的又一解法。

如今，工程计算很多时候需要借助辅助工具，MATLAB在求解矩阵的特征值与特征向量中非常方便。学生再在MATLAB中编程求解例题中的结果，并验证与手工计算结果有无差别。

对于方阵特征值概念中的Ax=λx，而y=Ax是从变量x到变量y的线性变换，当x是特征向量时，y就可以直接用λx代替，这样就可以简化很多计算问题[4]。

5 总结

当今政府大力倡导创新创业，一般本科院校也将教育培养目标设定为应用型水平大学，着力于培养学生的创新能力。而计算思维是每个大学生需要具备的基本技能。重视计算思维的训练，通过计算方法的拓展以及深度思考的培育，提升学生的发散思维、创新意识，从而可以实现真正的个人成长，成为大数据时代发展需要的真正应用型人才。

【参考文献】

[1]焦华.线性方程组典型案例分析及思维训练[J].贵州商业高等专科学校学报，2015，28（4）：76-78.

[2]同济大学数学系编.线性代数（第六版）[M].高等教育出版社，2014，6.

[3]向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院学报，2009，（3）：135-138.

[4]杨文霞，何朗，万源.面向能力培养和计算思维训练的线性代数混合式教学改革与实践[J].大学数学，2018，34（6）：45-51.