基于数学建模核心素养下的《独立重复试验与二项分布》的教学设计

□徐梦园 张 通 赵宝江

一、教材分析

本节教学内容来自人教A版选修2～3的第2.2.3节《独立重复试验与二项分布》，是在学生已经掌握了概率和统计的相关知识后，如二项式定理、离散型随机变量、两点分布以及分布列等有关内容后对概率的更深层的研究。二项分布模型是被广泛应用的概率模型，大量的随机变量都服从二项分布。二项分布的学习是从生活实际入手，利用抽象思维，建立数学模型，运用数学思想、方法和知识解决实际问题，数学建模是培养学生数学建模核心素养的重要方法。本节知识不仅是对前面所学内容的综合应用，还体现了数学模型的构建过程。本节课的学习对学生后续的数学及相关学科的学习与研究有深远的影响。

本节课的内容面向高二学生，虽然学生具有一定的抽象思维能力，但是从实际问题中抽象出数学模型，对于大多数学生来说还是困难的，基于以上分析，制定出本节教学的重难点。教学重点包括能理解n次独立重复试验的内容及二项分布的模型，并能解答一些简单的实际问题，而计算与n次独立重复试验及二项分布相关的问题并理解二项分布模型的构建过程是本节教学设计的难点。

本节教学设计主要有三个教学目标：在知识方面，学生能理解n次独立重复试验的概念，体会二项分布模型的形成过程，并能解决简单的实际问题；在能力方面，能够进行与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算；在情感方面，学生可以体会数学建模过程，并发展数学建模核心素养。围绕教学目标，设计出以下的教学思路。

二、教学设计思路

(一)精心设计导入环节，内容编排循序渐进。在课前已经发放了关于本节课的导学案，本导学案由教学重点、难点、概念填空、探究问题、典例讲解以及易考点组成，学生可以将导学案作为数学笔记,对问题进行解析与标注，有助于理清本节数学知识的脉络,并对题型有准确的定位。

(二)引导学生探究发现，并建构相关数学概念。通过学生的分析与探讨可以得到，以上的各类实验有以下几个共同点：一是都包含了n个相同的试验；二是每次试验之间相互独立，不影响彼此；三是每次试验只有两种可能的结果，如种子发芽与不发芽；四是每次出现“是”的概率相同，“不是”的概率也相同，实验结果可以计数。以上结果为学生整理所得，学生从具体实例中抽象出独立重复试验的概念，并通过抽象概括去认识新的数学概念。此外，本概念教学还采用了“归纳式”的方法，让学生体验概念的形成过程，并在建构概念的过程中有效地促进学生思维的发展，培养学生观察、分析、总结、归纳的能力。

(三)激发学生学习兴趣，加深学生对概念的理解。教师对学生总结的内容进行整理，规范n次独立重复试验的定义。教师需强调在定义中所提及的“在相同的条件下”等价于各次实验间的结果不会受其他实验结果影响，并且每次试验的结果只有两种，两种结果发生概率的和为1。即满足独立重复试验要需要具有以下四点特征：第一，每次试验是在相同的条件下进行；第二，各次试验中的事件互不影响，相互独立；第三，每次实验的结果仅有两种，即事件成功或失败；第四，每次实验中某事件发生的概率不变。

在给概念划完重点后，此时的学生具有强烈的求知欲，注意力高度集中,正等待着解决下一个问题。教师此时顺水推舟抛出问题2：投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p。连续掷一枚图钉3次,仅出现一次针尖向上的概率是多少？出现k(k=0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？能发现其中的规律吗？能给出一个统一的公式吗？

(四)尊重学生间差异，发挥小组合作讨论的作用。给学生充分的时间进行小组讨论，计算出结果的小组派一名组员上台为大家讲解，结束之后请其他同学进行补充或步骤纠错。

通过解决问题2,学生在教师的引导下,以问题为载体，体会由具体到抽象、由特殊到一般的二项分布模型的建模过程。在课堂上，学生不断地进行分析与整理，将数学知识进行内化。并将抽象的计数问题转译为与之等价的数学模型，可以发现恰当地运用模型方法有利于计数问题的解决。教师在本节课堂上主要起引导作用，适时地对学生的答案予以补充，并进行最后的整理与总结。

(五)围绕数学建模核心素养，建立二项分布模型。教师将学生对问题2的讲解，进行以下整理，用Bk(k=0,1,2,3)表示事件“连续掷一枚图钉3次，出现k次针尖向上”。通过学生的讨论与计算，可以得到：

P(B3)=P(A1A2A3)=p3.

观察上述等式，易得

k表示事件B发生的次数，设每次实验中事件B发生的概率为p。

通过对问题二的分析与思考，引出本节课的教学难点，二项分布的概念与模型。一般地,在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次实验中事件A发生的概率为p，则：

此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n,p),并称p为成功概率。

在得到二项分布的概念后，利用新的探究问题3让学生思考，上述公式与二项式定理的公式有什么共同点，它们之间存在什么联系。本问题的设计一方面引导学生深度探究二项分布模型，另一方面复习之前所学习的二项式定理，在对二项式定理以及两点分布的内容进行巩固的过程中，发现二项分布中的公式是二项式定理中展开式的某一项，以及两点分布是特殊的二项分布ξ～B(1,p)。

以上的教学设计，由难易程度不同的问题串组成。坚持将教学内容设计成符合课程要求和学生实际情况的原则，并具有一定的启发性，利用以问题为主线的教学方法。

为进一步巩固新知,并向学生展示二次分布模型的适用情况，教师从课本中选取一道紧扣教学重点的例题,某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中一是恰有8次击中的概率；二是至少有8次击中的概率。(结果保留两位有效数字)。

众所周知，数学作为一门基础性学科,在学习的过程中,对示范性例题的依赖性,相比于其他学科可能更大。教师在该题的教学中,除了阐述题目自身解法,还要让学生在理解题目解法的同时，能反思产生解题想法的根源。

教师在进行课堂练习巩固时，分别设置基础训练、变式训练以及实践创新三个层次的训练题，即模型的直接应用、变形应用和实际应用，而且教师从学生实际出发,既将学情放在首位,又将基础要求同特殊要求结合起来。

(七)指导学生课堂总结，提升数学建模素养。在课堂的最后，教师引导学生进行课堂总结，回顾独立重复试验的概念及其成立的要求，强调二项分布模型的应用范围为独立重复试验。二项分布这一重要的概率模型,可以解决实际问题，二项分布模型还与二项式定理和两点分布存在重要联系。通过本节学习内容，让学生体会到数学知识从生活实际出发,可以解决实际问题。

三、结语

教师在进行本节内容的教学设计时，根据学生的生理和心理特征,充分发挥学生的自主性和创造性,尊重学生对新知的独特认识，对学生的求异和求新给予一定的指导与肯定。在学习过程积极体现学生的创新精神的，并渗透数学建模核心素养。本节设计以新课程改革的理念为指导，始终遵循着教学内容要符合学生的认知规律，在教学过程中，坚持以学生为主体的教学思想，并采取循序渐进的教学原则，在教学过程中运用引导发现法和分析讨论法相结合的教学方法。在课堂上，通过设问、启发、适时点拨、总结以及讲练结合的方法，积极调动学生的思维活动，使学生在教师的引导下层层递进地展开学习活动，并让学生大胆参与课堂教学。在具体情境中，让学生体会两个事件相互独立的概念，理解二项分布模型的应用背景以及掌握n次独立重复试验的概念，并能利用所学的理论知识解决简单的现实问题，进而深度剖析概率的本质。