与阶乘有关的两个方程的解

姜莲霞，张四保

(喀什大学 数学与统计学院，新疆 喀什 844008)

在数论中，有关方程解的研究有着广博的研究成果，如文献[1-2]就讨论了2个方程解的问题。设n!是正整数n的阶乘,对于有关阶乘的方程解问题的研究是方程研究中最基础、最重要的问题之一[3]。对于有关阶乘的方程解问题，Bencze 和Simmons等提出了一系列的问题与猜想，如文献[4-7]。在国内，对于有关阶乘的方程解问题的讨论也有着丰富的研究内容，如文献[8-11]。本文在乐茂华教授对有关阶乘的方程解问题讨论的基础上，讨论了两个形式更为一般的方程解问题。

1 定理1及其证明

定理1 除p=2之外，方程

(1)

无解，其中p是满足p≥2的整数。

证明 当p=2时，此时方程就是文献[12]所讨论的方程。以下讨论p为p≥3的整数的情况。

当n=1时，有σ(1！)=1，而

(1×2×…×(p-1))!≥2

因而n=1不是方程(1)的解。

当n=2时，有

而

(2×3×…×(p-1)×(p+1))!≥8!

因而n=2不是方程(1)的解。

当n=3时，有

而

(3×4×…×(p-1)×(p+1)×(p+2))!≥20!

因而n=3不是方程(1)的解。

(n!)n<(n+1)!

(2)

当n≥4时，(2)式左端是

定理1证毕。

2 定理2及其证明

定理2 除p=2之外，方程

(3)

无解，其中p是满足p≥2的整数。

证明 当p=2时，此时方程就是文献[14]所讨论的方程。以下讨论p为p≥3的整数的情况。

(1×2×…×(p-1)x)!≥(2x)!

因而n=1不是方程(3)的解。

(2×…×(p-1)×(p+1)x)!≥(8x)!

若n=2是方程(3)的解，则有x!+(2x)!=(8x)!,有(8x)!-x！-(2x)!=0,从而有(x+1)(x+2)…(8x)-1-(x+1)(x+2)…(2x)=0，

因而有

(x+1)(x+2)…(2x)[(2x+1)(2x+2)…

(8x)-1]=1

(4)

显然(4)式是无正整数解，因而n=2不是方程(3)的解。

(5)

显然,当n≥3时(5)式不成立，所以当n≥3时，方程(3)亦无解。

定理2证毕。