基于电压递推与FFRELS的航空蓄电池模型参数动态辨识

(中国飞行试验研究院，西安 710089)

0 引言

目前，英、法、美、德等国家的歼击机、直升机甚至大型飞机均使用了大量航空蓄电池；在我国航空蓄电池作为机载电源[1]也已在多型飞机上使用。然而为了减轻供电系统自身的重量，一些军用飞机的应急供电系统只采用蓄电池[2]，当飞机进入应急工作状态时，断开其他用电设备，只向机上关键设备供电，进而确保飞机安全着陆，因此全面掌握蓄电池的健康状态就显得尤为重要[3]。然而电池模型参数辨识是蓄电池特性分析的基础，也是重难点之一[4]。

当航空蓄电池充电和放电时，内部发生非常复杂的化学反应，因此其研究模型主要有电化学模型和等效电路模型两种。其中电化学模型主要通过多个高阶微分方程来描述正负电极之间离子的运动过程，其精度较高，但模型复杂，计算量非常大，仅限于理论研究。等效电路模型通过电阻、电容的组合来描述蓄电池在充放电过程中的非线性特性，其精度稍低，但模型简单，容易实时计算，因此在实际中被广泛应用。当前常用的模型主要有Rint模型、Thevenin模型和RC模型。Rint模型由理想电压源和内部内阻组成，是最简单的等效电路模型，其只适合于简单的电路仿真，无法进行工程应用。Thevenin模型在Rint模型的基础上考虑了蓄电池内部的极化现象，其能够很好的表现蓄电池的动静态特性，能够比较精确的模拟电池的充放电行为，而且结构不是很复杂，因此在动力电池中该模型使用比较广泛。RC模型兼顾了模型性能与模型结构复杂度的要求，其精度高而且具有很好的可扩展性，因此是航空电池的首选模型。

目前，航空蓄电池模型的参数识别主要包括：脉冲实验法、卡尔曼滤波法及最小二乘法。脉冲实验方法需要长时间静置电池才能再次测量，这不适合在线识别[5]；卡尔曼滤波法的计算量过大，影响在线辨识的实时性[6]；最小二乘法由于其计算量小，辨识精度高而被广泛使用[7]。然而随着数据计算量的增加，最小二乘法很容易出现“数据饱和”的问题[8]，因此本文提出了基于遗忘因子扩展递推最小二乘算法对电池的模型参数进行识别。同时，开路电压(open circuit voltage, OCV)是模型中一个非常重要的参数，但其通常需要静置六个小时左右才能准确测量；文献[9]将开路电压与模型参数的非线性表达式作为一个新参数进行整体辨识，但其无法估计出各个时刻的开路电压，基于此本文提出了电池开路电压递推模型，用以估计电池的开路电压，实现电池模型参数的动态准确辨识。最后通过实验，验证了该算法能够准确辨识出模型的参数。

1 航空蓄电池RC模型

RC模型能够直观的表示蓄电池的动态、静态特性。然而RC阶数越多，模型的性能越高，但模型的计算越复杂。仿真实验表明，二阶RC网络以上的模型误差变化不大，但是模型的复杂程度却大大增加[4]。二阶RC等效电路如图1所示。

图1 二阶RC等效电路模型

图中Voc为蓄电池的开路电压，电阻Ro为蓄电池的内阻，Rs、Cs并联组成的网络用来表示电池的电化学极化特性，Rp、Cp并联组成的网络用来表示电池的浓差极化特性，两个RC网络的电压之和为蓄电池的极化电压。

蓄电池的等效放电电路如图2所示。图中RL为负载电阻，K为放电控制开关。航空蓄电池实际放电电压变化曲线如图3所示。

图2 等效放电电路

若开关K未闭合时，蓄电池的开路电压为:

VO=VOC

(1)

开关K闭合后电池进入放电状态，则端电压即为负载为RL上的电压：

u(t)=-i(t)RL

(2)

电路中的电流i(t)的表达式为：

(3)

式中,rs和rp为时间常数，其表达是分别为：

则蓄电池端电压u(t)的表达式为：

(4)

当t=0-时，u(t)为开路电压Voc，t=0+时，u(t)的值为：

(5)

所以在开关闭合瞬间，电池的端电压会发生突变，如图3中AB段所示；随着t的增大，u(t)逐渐减小，在t<4rs的时间段内，u(t)减小的速度比较快，如图3中BC段所示，在t>4rs之后，u(t)减小的速度比较慢，如图3中C点之后所示。可见，该二阶RC等效电路可以很好的描述航空蓄电池的特性。

图3 蓄电池实际放电电压曲线

2 参数辨识

2.1 蓄电池模型参数辨识应用

在飞行试验中，为了实现电池特性参数的安全监测，需要识别模型的参数，其具体过程如图3所示。

图3 航空蓄电池模型参数辨识过程

系统首先建立图1所示的航空蓄电池二阶RC模型，然后对蓄电池的端电压、输出电流进行实时采样，将采样电压和电流应用于模型参数辨识方法，辨识出模型参数，通过辨识出的模型参数对蓄电池的安全状态进行估计。

2.2 最小二乘参数辨识基本原理

最小二乘法是一种非常有效的参数辨识方法，它不仅简单而且容易理解，同时对所要识别的系统没有限制，即不论系统是线性的还是非线性的、是动态的还是静态的、是连续的还是离散的都可以应用最小二乘法对其进行参数辨识。

假设系统的离散传递函数为：

(6)

则该系统对应的差分方程为：

y(k)=-a1y(k-1)-a2y(k-2)-…any(k-n)+

b0x(k)+b1x(k-1)+ …bnx(k-n)+e(k)=

(7)

式中,y(k)，y(k-1)，y(k-2)，…，y(k-n)为系统的输出；x(k)，x(k-1)，…，x(k-n)为系统的输入；e(k)为差分方程的误差。

令：

则式(7)可以改写成最小二乘的形式：

y(k)=φ(k)Tθ+e(k)

(8)

如果分别测出n+N个输入输出值，则可以得到最小二乘的形式为：

Y=Φθ+e

(9)

式中：

则得到泛函J(θ)为：

(Y-Φθ)T(Y-Φθ)

(10)

最小二乘法估计要求残差的平方和最小，因此对该泛函求极值可得：

(11)

对式11)方程求解，可得到该系统的最小二乘估计值：

(12)

式(12)即为该系统的最小二乘参数估计值，可见最小二乘法可以一次性求出所有参数的估计值，其优点是估计的精度高，但是算法要求矩阵求逆运算，对处理器的空间要求相对较大，且很容易形成病态的方程式，对于实际系统来说，通过一次最小二乘辨识得到的参数估计值很难接近真实值，因此往往需要采用递推最小二乘法来对参数进行估计。然而递推最小二乘法随着迭代步数的增加，旧的数据会越来越多，导致新的数据难以被带入迭代中，为了避免这种情况的发生，可以引入遗忘因子λ，含遗忘因子的递推最小二乘法公式为：

(13)

(14)

(15)

式中,λ为遗忘因子，其取值范围应该为0<λ<1，一般取0.95<λ<1，λ越小，算法的跟踪能力越强，但是同时，数据的波动也越大。

2.3 蓄电池模型分析

根据二阶RC等效电路模型的工作原理，结合Kirchhoff定理，可以建立航空电池模型的状态空间方程如下：

(16)

因此模型中需要辨识的参数为[RoRsCoRpCpVoc]。

将式(16)经过拉普拉斯变换，可得到其输入输出函数为：

(17)

(18)

式中, [a1a2c0c1c2]分别为：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

根据式(3)可以得到该系统的差分方程为：

U(k)=-a1U(k-1)-a2U(k-2)+c0I(k)+

c1I(k-1)+c2I(k-2)+

(Voc(k)+a1Voc(k-1)+a2Voc(k-2))

(24)

式中,U(k)为k时刻蓄电池的端电压；I(k)为k时刻蓄电池的输出电流；Voc(k)为k时刻蓄电池的开路电压。

由式(24)可知，只要测得连续3个蓄电池的时刻端电压、输出电流和开路电压即可采用参数辨识算法得到式(24)中的系数，然后根据式(19)——式(23)可得到蓄电池模型的参数。

然而，式(24)中Voc为开路电压，其值并不能被测量，大部分文献都是通过离线建立OCV-SOC的关系表，然后根据当前的SOC值，通过查表得到当前时刻的蓄电池开路电压，然而蓄电池在使用老化过程中OCV-SOC的关系会发生变化，因此随着蓄电池的老化，这种方法将不再适用，因此本文提出了开路电压递推模型，对蓄电池各个采样时刻的开路电压进行辨识估计。

2.4 电池开路电压递推模型

由于开路电压受电池的荷电状态、温度、寿命等因素影响，且在采样时刻内其影响因素可以忽略，因此可将式(24)中所有包含开路电压的非线性关系式看做一个参数L(k)进行整体辨识[9]，如式(25)所示。

L(k)=Voc(k)+a1Voc(k-1)+a2Voc(k-2)

(25)

因此可形成式(26)所示的系统差分方程：

U(k)=L(k)-a1U(k-1)-a2U(k-2)+

c0I(k)+c1I(k-1)+c2I(k-2)

(26)

对式(26)应用FFRELS算法进行参数辨识，可以得到[L(k) a1a2c0c1c2]的值，然后将辨识出的参数带入式(27)所示的电压递推模型中，可估计出电池的开路电压。

Voc(k)=L(k)-a1Voc(k-1)-a2Voc(k-2)

(27)

2.5 蓄电池模型参数辨识算法

将式(26)整理为最小二乘的形式，为：

y(k)=Φ(k)Tθ

(28)

式中：

y(k)=U(k)

Φ(k)T=[1,-U(k-1),-U(k-2),I(k),

I(k-1),I(k-2)]

θ=[L(k),a1,a2,c0,c1,c2]

式中，y(k)为最小二乘算法的输出量，即为蓄电池的端电压；Φ(k)为最小二乘辨识过程的输入，θ为所要辨识的参数。

当参数[L(k),a1,a2,c0,c1,c2]辨识出来之后，根据式(12)通过递推可以得到系统的开路电压Voc。同时通过对式(4)～(8)求解可以得到。

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

通过对上式进行求解可以得到参数[RoRsCsRpCp]。

针对本文所提出的蓄电池模型，采用参数辨识方法的具体步骤如下所示：

Step2、确定输入数据：根据传感器采集到的第k时刻的蓄电池的端电压和电流，来确定参数辨识所需要的数据矩阵Φ(k)；

Step3、计算系数：根据式(26)所示的带遗传因子的递推最小二乘公式来计算出第k时刻的系数[L(k),a1,a2,c0,c1,c2]；

Step4、计算开路电压：根据式(27)递推计算出第k时刻的开路电压；

Step5、根据参数计算公式(29)～(33)，得到第k时刻的模型参数[RoRsCsRpCp]；

Step6、获取第k+1时刻的数据，重复Step2～Step5来得到第k+1时刻的模型参数，依次递推来实现电池模型参数的在线估计。

3 实验结果与分析

为了验证本文所提出的参数识别方法的可靠性和精确性，搭建了图2所示的实验平台。实验选用12V12Ah的风帆铅酸蓄电池，其电池开路电压Voc=13.1 V，内阻Re=0.05 Ω，极化内阻Rs=0.035 Ω，极化电容Cs=800 F，极化内阻Rp=0.02 Ω，极化电容Cp=10 F。

图2 实验平台

该平台以6A的电流对蓄电池进行脉冲放电，采集到的放电过程中蓄电池的电流和端电压变化曲线如图3、4所示。

图3 蓄电池放电电流

图4 蓄电池放电端电压

按照3.3节中的参数辨识步骤对模型参数辨识，辨识结果如表1所示。

表1 仿真模型参数辨识结果

由表1的数据可知，所得到的参数辨识结果其误差都在11%以内，可见其辨识方法精度比较高。

同时将辨识出的开路电压与文献[9]中采用的方法进行对比，结果如图5所示。

图5 开路电压辨识结果

由图5可知，本文方法辨识出的开路电压明显优于文献[9]的结果。其两种方法的估计误差如图6所示，可见本文的误差小于0.5%，其值明显小于文献[9]的误差。因此本文所提出的参数辨识方法能够很好的对航空蓄电池的模型参数进行辨识。

图6 开路电压辨识误差

可见，本文提出的方法能够准确辨识出二阶RC航空蓄电池模型的参数，辨识精度高。

4 结论

分析了二阶航空电池模型的输出特性，提出了具有遗忘因子扩展递推最小二乘法的参数辨识算法，该算法继承了遗忘因子递推最小二乘法和递推扩展最小二乘法的优点，解决了数据的饱和问题，能够对模型参数进行准确辨识；同时采用开路电压递推模型对电池的开路电压进行估计，最后通过实验表明，该方法能够准确地对蓄电池的模型参数进行辨识，可实现蓄电池特性的安全监控，可为后续航空电池的健康状态管理提供有力的支持。