无模型预测控制及在溴化锂机组控制中的应用

董 娜, 冯 宇, 吴爱国, 韩学烁

(天津大学 电气自动化与信息工程学院, 天津 300072)

0 引 言

无模型自适应控制(MFAC: Model-Free Adaptive Control)[1]是指控制器的设计仅利用受控系统的输入输出数据, 控制器中不包含受控过程数学模型的任何信息的控制理论与方法。无模型自适应控制方法简单, 计算负担小, 容易实现, 与传统的自适应方法相比, MFAC在受控对象、 假设和分析方法上都完全不同。而且MFAC的稳定性分析仅需要伪偏导数(PPD: Pseudo Partial Derivative)的保号性和估计算法的有界性, 这一点也与传统自适应控制有本质不同[2]。

预测控制是一种基于模型的先进控制技术, 它源自于工业实际的要求, 是工业应用中除PID(Proprotion Integral Differential)外应用最广的控制方法, 也是国内外控制领域讨论的热点问题[3]。现有的预测控制方法有很好的控制效果和鲁棒性, 但其中大多数控制对象是线性系统, 关于非线性等复杂系统的预测控制问题还没有很好地解决[4]。

由于MFAC是以复杂系统途径设计的控制方法, 因而控制复杂对象时,表现出其优良控制品质[5-6]。针对未知的复杂系统, 考虑到预测控制和无模型自适应控制的各自优点, 将二者研究综合, 提出了无模型自适应预测控制算法。与基于模型的自适应预测控制方法相比, 具有更强的鲁棒性和更广泛的应用性, 但无模型自适应预测控制算法在控制非线性大时滞等复杂对象时的动态性能仍不太理想[7-8]。

随着我国经济社会的不断发展, 人们需要更加舒适的环境。在现实社会中, 空调发挥着相当重要的作用, 如在餐饮、 医药等各个领域使用的很频繁, 但是随之而来的是能源大量消耗问题和空调的优化控制问题。在建筑能耗里, 制冷设备的能源消耗占很大比例, 在夏天的用电高峰期可占据城市用电量的33%左右, 由此可见, 制冷系统的节能和优化控制问题是目前现在需重视的一个问题。制冷机组的控制研究是空调系统控制研究的一个重要方面, 并且成为国内外研究的重点之一。

对于溴化锂制冷系统, 虽然PID方法应用较多, 但其局限性较为明显, 如对被控对象模型依赖率高, 且控制时间长, 稳定性差等, PID算法还对环境变化有很大的惯性, 现有的PID算法难以实现类似溴化锂制冷系统这种大时滞系统的有效控制。针对溴化锂制冷系统的优化控制仍有很大的上升空间[9-11]。

针对上述问题, 笔者对无模型自适应预测控制算法做出两点改进： 1) 现有MFAPC(Model-Free Adaptive Predictive Control)仅考虑了控制误差, 然而, 历史输出误差对当前控制信号也存在一定影响。因此, 笔者在无模型自适应算法的控制输入准则函数中引入了控制误差和, 由于有了更精确的数据迭代关系, 控制效果更加理想。2) 改善了MFAPC参数估计过程, 将两个参数L1,L2引入MFAPC参数估计控制方案。在采用泛模型代替非线性系统时, 相邻采样时刻的伪偏导数变化量ΔΦ(k)不能变化太大, 否则系统输出不稳定。需合理控制系统中伪偏导数Φ(k)的变化速率, 且由于其控制输入准则函数推导结果的分式分母易为0。加入L1、L2参数发现推导得出的控制律与原来的MFAPC作仿真比较后会得到更稳定的控制效果。同时减少了参数并优化了算法, 达到了更佳的控制效果。

笔者减少了MFAPC需要调试的参数数目, 优化了控制率过程与参数估计过程, 提高了函数的灵活性和可调性。同时使算法更加便捷。选取了典型的二阶大时滞系统和非线性时滞系统, 时变信号系统, 溴化锂制冷系统等复杂系统, 分别使用改进的MFAPC算法、 基本MFAPC算法进行仿真实验比较研究。仿真结果表明, 改进的无模型自适应预测控制算法具有更佳的控制性能, 更快的响应速度, 控制效果较之原MFAPC更加理想[12-13], 且能更好地控制溴化锂制冷机组。

1 无模型自适应预测控制算法

对一个离散系统, 假定{[u(k-1),y(k)]}和{[u(k),y(k+1)]}是相邻采样时刻的观测数据, 且u(k)≠u(k-1)。系统紧格式动态线性化数据模型为

y(k+1)-y(k)=φ(k)*(u(k)-u(k-1)),Δy(k+1)=φ(k)Δu(k)

(1)

其中φ(k)是伪偏导数。

经典无模型自适应预测控制算法的总体方案如下。

由式(1)可给出一步向前预测方程

y(k+1)=y(k)+φ(k)Δu(k)

(2)

由式(2)可推出N步向前预测方程如下

通过推导, 得到无模型预测控制率

u(k)=u(k-1)+gTΔUNu(k)

(4)

无模型自适应预测控制算法伪偏导数

(5)

2 改进的无模型自适应预测控制算法

2.1 控制算法

考虑到历史输出误差对MFAPC的当前控制信号也存在影响, 因而笔者设计控制器时, 在控制输入准则函数中引入了控制误差和[14-16], 推导设计过程如下。

对一般离散非线性系统,e(k)是实际输出值与设定输出值产生的误差, 则有

e(k)=y*(k)-y(k)

(6)

其中y*表示设定输出值。将式(1)代入式(6)可得

e(k+1)-e(k)=y*(k+1)-y(k+1)-(y*(k)-y(k))=

y*(k+1)-y*(k)-(y(k+1)-y(k))=Δy*(k+1)-φ(k)Δu(k)

(7)

(8)

式(8)又可写为

E(k+1)=E(k)+Te(k)

(9)

结合式(6), 式(8)可得

(10)

利用预测误差信息可对系统输入进行校正, 并且将k步之前的误差采用和的形式进行中和, 可避免误差逐渐变大, 改善系统的控制效果。

令ω(k)=[E(k),e(k)]Τ, 则式(10)可简化为如下形式

ω(k+1)=Aω(k)+B(k)ΔU(k)+CΔy*(k+1)

(11)

其中各参数表示如下

由式(11)可推出

ω(k+2)=Aω(k+1)+B(k+1)Δu(k+1)+CΔy*(k+2)=

A2ω(k)+AB(k)Δu(k)+…+CΔy*(k+1)

(12)

ω(k+Nu)=ANμω(k)+…+Δy*(k+Nμ)

(13)

其中Nυ为控制时域常数, 令W(k)=[ω(k+1),…,ω(k+Nu)]T, 则式(13)可化为

W(k)=Mω(k)+N(k)ΔU(k)+HΔY*(k)

(14)

其中M=[A,A2,…,ANμ]T,p=Nμ-1。

考虑如下输入准则函数

(15)

ΔU(k)=-(NT(k)N(k)+λI)-1NT(k)(Mω(t)+HΔY*(k))

(16)

则改进的无模型自适应预测控制算法控制率的求取函数为

u(k)=u(k-1)+gTΔU(k)

(17)

其中g=[1,0,…,0]T。

2.2 参数估计算法

由于未知参数伪偏导数φ未知, 笔者对参数估计过程进行改进。

取目标函数

minJ[Φ(k)]=L1[y*(k)-y(k)]2+L2[θ1(k)Φ(k)-θ2(k)Φ(k-1)]2

(18)

将式(1)代入式(18)得

minJ[Φ(k)]=L1[y*(k)-y(k-1)-Φ(k-1)Δu(k-1)]2+

L2[θ1(k)Φ(k)-θ2(k)Φ(k-1)]2

(19)

对Φ(k)求导得

(-Δu(k-1))+2L2[θ1(k)Φ(k)-θ2(k)Φ(k-1)]

(20)

定义θ(k)=[θ1(k),…,θnp(k)]T。再令式(20)=0, 得控制律如下

(21)

综上, 结合控制率算法和参数估计推导过程, 提出了一种改进的无模型自适应预测控制算法。

3 稳定性证明

对上述提出的改进MFAPC算法进行稳定性证明如下。

(22)

可得

(23)

整理得

(24)

对式(24)两边取绝对值, 并利用不等式运算法则, 得

(25)

(26)

和我两年前在奥地利格拉茨Schöckl山上所感受到的越野体验不同的是，Schöckl山上那些崎岖的碎石山路需要的是精准控制油门踏板每一毫米的行程，以及差速器锁的使用时机；而在红山军马场的积雪中，这样的动作在去除了差速器锁操作的复杂流程后，控制油门踏板行程的动作被快进了数倍，双手操作方向盘的动作也同样被快进了不少。虽然没有在Schöckl山最终登上顶峰一览众山时的那种豪迈，但事后通过无人机实时传回的画面，看着积雪中犹如印象派画作一般的车辙痕迹，我也颇有一种完成了一桩要事的成就感。

定理1 对于非线性系统, 若满足假设条件1～3, 则当Δu(k)≠0时, 一定会存在一个量Φ(k), 使

y(k+1)=f(y(k),…,y(k-ny),u(k),…,u(k-nu))

(27)

可表示为

Δy(k+1)=Φ(k)Δu(k)

(28)

并且Φ(k)对任意时刻k有界。利用式(21), 式(22)可得如下不等式

(29)

假设1 系统式y(k+1)=f(y(k),…,y(k-ny),u(k),…,u(k-nu))为输入输出可观且可控的, 即对于系统的某一有界期望输出信号y*(k+1), 肯定会存在一个可行且有界的输入信号, 使系统在此输入信号的作用下其输出能达到系统的期望输出。

假设2 除有限时刻点外,f(·)关于当前的控制输入信号u(k)其偏导数是连续的。

假设3 除有限时刻外, 系统式y(k+1)=f(y(k),…,y(k-ny),u(k),…,u(k-nu))是满足广义利普希茨条件的, 即对任意的k和Δu(k)≠0有

|Δy(k+1)|≤b|Δu(k)|

Δy(k+1)=y(k+1)-y(k),Δu(k)=u(k)-u(k-1)

(30)

b为常数。

4 经典系统仿真研究

图1 线性系统阶跃响应曲线Fig.1 Linear system step response curve

为验证笔者提出的改进MFAPC算法的有效性, 分别使用改进的MFAPC算法、 原有的MFAPC算法进行仿真实验研究, 取典型的线性系统, 非线性系统、 跟踪时变信号系统等复杂系统进行仿真实验。

引入线性系统如下

(31)

仿真实验各参数表示如下： 仿真步数K=1 500,L1=0.625,λ=2.6,η=3。则改进MFAPC算法、 MFAPC控制算法的Matlab仿真比较结果如图1, 表1所示。

引入非线性系统

y(k+1)=y(k)y(k-1)(y(k)-2.5)

(32)

MFAPC控制算法和改进MFAPC算法的Matlab仿真比较结果如图2, 表2所示。仿真步数K=1 500,L1=0.625,λ=3,η=4.5。

引入时变信号

(33)

MFAPC控制算法和改进MFAPC算法的Matlab仿真比较结果如图3, 表3所示。仿真步数K=1 000,L1=0.625,λ=5,η=3。

图2 非线性系统方波响应曲线 图3 系统跟踪时变信号曲线 Fig.2 Square wave response curve of nonlinear system Fig.3 System tracking time-varying signal curve

表1 线性系统阶跃响应的调节步数和标准误差

表2 非线性系统方波响应的调节步数和标准误差

由图1, 表1可见, 改进MFAPC对设定的期望输出值有较好的逼近效果。对比经典MFAPC, 控制效果更为出色, 控制系统稳定, 调节时间更短。从标准误差上看, 其误差也相比经典MFAPC更小。

表3 系统跟踪时变信号的调节步数和标准误差

由图2, 表2可见, 从非线性系统的方波响应曲线结果可得到以下结论： 虽然改进的MFAPC跟踪期望输出信号速度和经典MFAPC相差不大, 但控制过程中, 进行了3次跳变, 而从3次跃变的跳变点对比结果看出, 改进的MFAPC的控制效果更加出色。而且从标准误差结果看出, 改进MFAPC的误差也较小, 从而体现了改进方法的优越性。如图3, 表3所示, 对时变系统, 两种无模型算法均能很好地控制对象。但改进的MFAPC响应速度快, 拟合期望输出曲线效果好。对于时变系统的3个子系统均能进行很好地控制, 而且控制过程中过度平稳。由此体现出该改进算法的良好控制性能。

5 溴化锂制冷系统仿真研究

5.1 溴化锂制冷系统简述

制冷机组的各个器件都是不太稳定的, 很容易随环境的变化而改变工况状态。目前制冷系统应用较多的方法是PID方法, 但有其局限性, 当受控对象是强耦合, 大时滞, 非线性的对象时, PID的输出效果就有所欠佳。而制冷系统就是这样复杂的非线性系统。

图4 溴化锂制冷机组工作原理示意图Fig.4 Schematic diagram of the working principle of lithium bromide refrigeration unit

笔者所涉及的实际系统为溴化锂吸收式制冷机组, 通常由发生器, 冷凝器、 蒸发器、 吸收器, 溶液热交换器和溶液泵等部件组成, 在高度真空的条件下, 各部件内充满溴化锂溶液运行。

在制冷机运行过程中, 当溴化锂水溶液在发生器内受到热媒水加热后, 溶液中的水不断汽化;水蒸气进入冷凝器, 被冷却水降温后凝结; 随着水的不断汽化, 发生器内的溶液浓度不断升高, 进入吸收器; 当冷凝器内的水通过节流阀进入蒸发器时, 急速膨胀而汽化, 并在汽化过程中大量吸收蒸发器内冷媒水的热量, 从而达到降温制冷的目的; 在此过程中, 低温水蒸气进入吸收器, 被吸收器内的浓溴化锂溶液吸收, 溶液浓度逐步降低, 由溶液泵送回发生器, 完成整个循环。其原理示意图如图4所示, 且方形框图内为拟控制冷冻水回路。

5.2 溴化锂制冷系统控制策略

溴化锂制冷机组常通过控制冷冻水供水温度提高机组能效比。提高冷冻水供水温度, 不仅能减小制冷机组结晶的风险, 还可同时提高制冷机组的制冷量和能效比。制冷机组安全运行对冷冻水供水温度的最低限制有两个条件要求： 冷冻水供水温度不应低于0 ℃, 保证冷冻水不会结冰； 制冷机组不会结晶。

图5为溴化锂制冷机组各机组参数间关系, 图6为笔者改进算法在溴化锂制冷机组中的控制策略。从图5可知, 溴化锂机组有3条循环回路。

图5 溴化锂机组参数间耦合关系示意图Fig.5 Schematic diagram of the coupling relationship between parameters of lithium bromide unit

1) 热水循环回路。由热水锅炉, 发生器热水水泵等组成。热水为发生器提供持续的热量驱动, 使水蒸气从溴化锂溶液中蒸发。热水泵频率增加, 热水流量增大。当需求负荷降低时, 降低热水流量或降低热水入口温度都可以减少发生器中流量, 从而降低制冷机组的制冷量。

2) 冷却水循环回路。由吸收器、 冷凝器、 冷却塔和膨胀阀等构成。冷却水带走冷凝器和吸收器多余的热量, 释放到空气中, 保证制冷系统工作继续进行。当需求负荷降低时, 减小冷却水泵频率或提高冷却水入口温度都可以降低机组的制冷量。

3) 冷冻水循环回路。由蒸发器、 空调、 冷冻水泵和冷冻水箱构成。冷冻水带走蒸发器的冷量, 从而为空调房供冷。笔者选用冷冻水循环回路作为控制回路。

从图6可知, 溴化锂机组控制策略如下： 控制器通过笔者所提出的改进无模型自适应预测控制算法控制溴化锂制冷机组的冷冻水供水温度。使其达到期望要求, 从而使冷冻水经过冷凝器, 蒸发器及吸收器的化学工艺流程, 最后反馈到空调房间, 达到制冷目的。

图6 溴化锂机组控制策略示意图Fig.6 Schematic diagram of control strategy for lithium bromide unit

5.3 仿真研究

为更好地进行仿真研究比较笔者所提出的算法, 引进了经典算法PID算法与基本MFAPC算法共同仿真。针对溴化锂制冷系统, 笔者选用经过SVM支持向量机建立的模型[20], 模型形式如下

Tcho(k+1)=f(Thi(k-d), Fh(k-d), Tci(k-d),

Fc(k-d), Tchi(k-d), Tcho(k-1), Tcho(k))

(33)

其中PID控制参数：kp=10;ki=0.10;kd=15; 改进MFAPC控制参数：η=4;μ=2;ρ=0.5;λ=0.1;L2=0.6; 其中冷冻水初始温度设定为2 ℃, 期望冷冻水供水温度为8 ℃。仿真如图7, 表4所示。

图7 溴化锂机组控制仿真图Fig.7 Lithium bromide unit control simulation diagram

表4 溴化锂制冷机组系统仿真研究的调节步数和标准误差

可以看出, 在控制溴化锂制冷系统时： 引入两个可变参数的改进无模型自适应预测控制算法的快速性均好于原始的无模型自适应控制和经典PID控制算法。改进的算法能有效地调节控制参数, 并更加快速地控制冷冻水供水温度, 使其迅速达到所期望的控制值。

6 结 语

通过上述4个实验验证, 在使用系统仿真模型时, 由改进MFAPC控制的系统稳定, 调节时间更短。标准误差较小, 且控制时变系统时, 在控制过程中也过渡平稳。在实际溴化锂系统控制中, 改进的无模型自适应预测控制算法快速性和稳定性均较为出色, 可有效的对溴化锂系统的冷冻水回路进行控制, 上述实验同时验证了新型改进控制算法的有效性。