基于仅相位加权的宽零陷低副瓣波束赋形方法

周强锋

(1.中国空空导弹研究院，河南 洛阳 471000;2.航空制导武器航空科技重点实验室，河南 洛阳 471000)

0 引言

阵列天线宽零陷波束赋形技术作为有效抑制或消除干扰的一种有效手段[1-2]，已广泛应用于雷达、通信、卫星导航等领域。传统宽零陷形成技术[3-6]一般是通过对阵列天线各单元同时施加幅度与相位分布激励，或者通过对单元的幅度或位置进行扰动，实现宽零陷赋形的目的。由于阵列各单元的激励幅度分布是通过馈电网络实现的，且位置一般是固定的，实现传统宽零陷形成技术将增加阵列天线系统的设计难度，如需要设计复杂馈电网络实现幅度的改变、增加精确的机电传动装置用于实现单位位置的改变等，缺乏灵活性，工程应用较复杂。

对于相控阵天线的宽零陷波束赋形，解决以上问题的一种有效方法就是采用只改变馈电相位分布的仅相位加权方法，在不改变原有功率分配馈电网络和不增加新设备的情况下，通过相控阵天线移相器来改变各单元的相位分布，实现方向图的宽零陷赋形。采用仅相位加权的零陷赋形方法已得到许多学者的关注。Hu[7]利用梯度搜索法实现了线阵的自适应波束形成；Khzmalyan[8]利用一维求最小值法实现了波束零陷赋形；Gatti[9]利用拟牛顿法对描述相位加权分布的多项式的权值进行优化，实现了波束零陷赋形。但是这些方法缺乏对波束整体副瓣电平的约束且形成的零陷较窄、陡峭，当对干扰方向估计产生误差，可能会导致零陷位置偏出实际干扰方向，导致抑制干扰失效[10]。

为此，本文提出了一种新的仅相位加权的阵列天线宽零陷低副瓣波束赋形方法，通过建立对应的优化目标模型，采用融合混沌搜索技术的粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)进行优化。利用混沌具有随机性、遍历性等优点进行种群初始化，增强种群多样性，并改进粒子位置更新策略，对全局最优位置更新采用变尺度混沌搜索技术，有效结合粒子群的全局搜索能力和混沌优化局部搜索能力，提高了整个优化过程的收敛速度和收敛精度。

1 数学模型

假定阵列天线单元方向图为各向同性，对于一个N元等间距排列的线阵，其天线方向图可表示为

(1)

式中:In为第n个天线单元的理想激励幅度；λ为波长；d为天线单元排列间距；θ为场空间角；θ0为波束扫描角。

采用仅相位加权方法方向图赋形技术实质是在保持原有指向下，增加一个用于实现形成预定波束形状的阵列各单元的相位激励分布，其基本原理可表示为

(2)

式中:φ=(φ1,φ2,…,φN)，φn为第n个单元的用于形成预定波束形状的相位加权值。

宽零陷低副瓣方向图赋形的目的是在强干扰源方向变化的角度区域内设置宽零陷，并保持整体波束的低副瓣来抑制其他方向的干扰。采用仅相位加权方法的宽零陷低副瓣波束形成技术的优化目标模型可描述如下：

|AF(θm)|,0)，

(3)

式中：M为计算中定义的角度采样点数；θm为第m个采样的角度；AF(θm)为理想设计的宽零陷方向图。

由于式(3)的目标函数与参数变量不构成解析式，采用粒子群优化算法进行求解，获得形成预定波束形状的阵列天线各单元的相位加权值。

2 宽零陷低副瓣波束赋形的PSO算法

2.1 PSO算法

PSO算法是一种模拟鸟群捕食行为的智能全局优化算法[11-12]。在PSO算法中，每个粒子(个体)利用自身找到的最优解和整个种群的全局最优解提供的信息，来更新自身的速度和位置，实现寻找最优解的目的。

对于D维参数变量的优化问题，假设第i个粒子所经历的最优位置Pi=(pi1,pi2,…,piD)，所有粒子经历的全局最优位置为Pg=(pg1,pg2,…,pgD)。在第k次循环过程中，标准PSO算法中第i个粒子的速度vi=(vi1,vi2,…,viD)和位置Xi=(xi1,xi2,…,xiD)的更新可以描述如下：

(4)

(5)

式中：ω为惯性权因子；c1和c2为加速度因子；r1和r2为[0,1]间的随机数。惯性权因子ω常采用自适应计算，即ω=ωmax-k(ωmax-ωmix)/kmax，其中k为当前迭代次数，kmax为最大迭代次数,ωmax和ωmix分别为最大和最小惯性常数。

2.2 混沌运动与PSO算法改进策略

混沌运动是存在于非线性确定系统中的一种普遍现象，具有初值敏感性、随机性、遍历性以及自相似分形等非线性动力学特性。利用混沌运动的这些性质进行优化算法设计，是一种有潜力的新技术，并已经用于多种优化算法改进[13-14]。

典型产生混沌序列的混沌模型有Logistic映射、Tent映射、Kent映射、Sinusoidal映射等，其中Sinusoidal映射已经被证明相比于其他映射具有更好的混沌优化效果[15]。

Sinusoidal混沌映射函数的定义如下：

(6)

式中：a=2.3。

为了克服基本PSO算法易出现早熟收敛、收敛缓慢等缺点，将混沌技术引人PSO算法优化过程中，对种群初始化和粒子位置更新策略进行改进。

(1) 利用混沌技术初始化种群

利用混沌运动的随机性和遍历性优点，通过Sinusoidal映射产生一组与优化变量相同维数的混沌变量序列，即随机产生一个D维且每个分量都在[0,1]间的随机数向量Z1=(z11,z12,…,z1D)。根据Sinusoidal混沌映射函数式(6)得到M个混沌序列Z1，Z2，…,ZM，并将Zi的各个分量按式(7)映射到优化变量的取值范围[a,b]，利用式(3)计算每一个粒子的适应度函数，并从中选取适应度最好的Popsize(种群数)个粒子组成初始种群。利用混沌技术初始化既保持初始化群时具有的随机性本质，又利用混沌技术提高了种群的多样性和搜索的遍历性。

Xi=a+(b-a)Zi.

(7)

(2) 将混沌搜索嵌入粒子位置更新

根据基本PSO算法的粒子位置更新机制，对全局最优的粒子位置更新缺乏有效引导，可能会影响全局的收敛精度与收敛速度。为进一步挖掘PSO算法的局部搜索能力和提高优化效率，全局最优的粒子位置更新采用混沌搜索策略，即每次迭代过程中，当粒子位置Xi属于全局最优的位置，对其位置更新时，采用如下更新策略：

(8)

式中：Δxij为利用Sinusoidal映射函数随机产生的混沌序列变量；γ为搜索空间控制参数。

考虑到算法优化迭代前期应具有较强的全局搜索能力和跳出局部极值的能力，迭代后期算法应具有较强的局部精细搜索能力，采用变尺度混沌优化思想，即根据优化进程不断缩小优化变量的搜索空间，γ计算如下：

(9)

式中:α为搜索空间尺度参数；k为当前迭代次数；kmax为最大迭代次数。

同时，为使全局最优粒子位置始终保留在更新后的种群中，全局最优的粒子位置更新引入竞争机制，当更新后的粒子位置适应度更好，则保留更新，否则保留原有位置不变，具体公式为：

(10)

由于宽零陷低副瓣方向图赋形的优化变量是带约束条件的，当粒子位置更新完成后，可能会出现越界，需要强加一个简单的边界约束。在完成粒子位置更新后，通过如下一个简单的步骤，把粒子位置映射到规定的区域内：

(11)

2.3 融合混沌技术的改进粒子群算法

对于采用仅相位加权方法的宽零陷低副瓣波束赋形优化问题，融合混沌技术的改进粒子群算法优化步骤如下：

(1) 算法参数初始化，包括种群规模Popsize、搜索维数D、最大惯性常数ωmax、最小惯性常数ωmin、加速度因子c1和c2、最大迭代次数kmax、各粒子的初始速度向量为[-0.2,0.2]内的随机数。

(2) 利用Sinusoidal混沌映射初始化种群，计算每一个粒子的初始适应度，并更新个体极值Pi和全体极值Pg。

(3) 执行新的位置更新策略，利用式(4)和式(5)对非全局最优粒子进行位置更新，利用式(8)和式(10)对属于全局最优粒子的位置进行位置更新。

(4) 执行边界约束处理，利用式(11)对粒子位置进行映射到规定的位置范围内。

(5) 计算经过位置更新后粒子所对应的适应度值，更新个体极值Pi和全体极值Pg。

(6) 判断当前迭代数k是否超出最大的迭代次数kmax(停止准则)。若k

3 实验结果

为了验证新方法的有效性，以半波长等间距排列的60元线阵为例，采用本文改进PSO算法(improved PSO,IPSO)和基本粒子群算法(PSO)分别进行仅相位加权宽零陷方向图赋形。仿真中，种群数M=60，搜索维数为D=60，最大迭代次数为kmax=3 000，最大最小惯性常数分别为ωmax=0.9和ωmin=0.4，加速度常数为c1=c2=2，相位加权值取值空间[a,b]=[0,2π]，搜索空间尺度参数α=6。

图1是主波束指向0°时在(20°，25°) 角度内形成宽5°、深-60 dB的零陷且副瓣电平不超过-30 dB的波束赋形仿真结果。图中点线是未宽零陷波束赋形的原始方向图，虚线是宽零陷低副瓣赋形的波形约束，虚点线和实线分别是采用基本PSO和本文IPSO形成的宽零陷方向图。采用基本PSO算法未能优化出符合要求的宽零陷方向图，零陷深度和副瓣电平方面均没有达到要求，而采用本文IPSO实现了在预定位置形成零陷深度-60 dB的宽零陷，且整体副瓣电平不超过-30 dB，其优化获得的激励相位加权值见图2。图3是基本PSO和本文IPSO适应度收敛曲线对比。基本PSO收敛速度非常慢，在迭代过程中陷入局部最优，未能优化出最优解；而本文IPSO很好地跳出了局部最优，并快速趋于收敛，获得最优解，大大加快了搜索速度。

图4是主波束指向0°时在(30°，35°) 角度内形成宽5°、深-60 dB的零陷且副瓣电平不超过-30 dB的波束赋形仿真结果。图5是本文IPSO优化获得的激励相位加权值。图6是基本PSO和本文IPSO适应度收敛曲线对比。基本PSO由于陷入局部最优且收敛较慢，在(30°，35°) 角度内形成的零陷深度约-53 dB；而采用本文IPSO很好地跳出了局部最优，在迭代1 200次趋于收敛，实现了预定位置形成宽零陷的设计要求。仿真结果表明,采用本文IPSO算法有效地克服了基本粒子群算法易陷入局部最优和收敛精度不高的缺点，能够很好用于形成宽零陷低副瓣波束赋形。

为了进一步分析改进PSO算法进行仅相位加权宽零陷方向图赋形优化的收敛精度和收敛速度，对上述给出的2个优化问题各进行30次独立实验，结果如表1所示。

通过表1可以看出，本文改进PSO算法用于仅相位加权宽零陷方向图赋形优化时，收敛精度高，能够在3 000次迭代内获得符合要求的最优解之一，收敛速度快，算法稳健有效，便于工程应用。

表1 本文改进PSO算法的性能分析Table 1 Performance analysis of IPSO

4 结束语

针对宽零陷方向图赋形问题，本文提出了一种仅改变相位分布的阵列天线宽零陷低副瓣波束赋形优化方法；通过建立对应的优化目标模型，采用融合混沌搜索技术的粒子群算法进行优化，获得阵列天线各单元的馈电相位分布，在不改变各单元馈电幅度分布的前提下形成预定宽零陷波束形状，并达到低副瓣设计要求。仿真结果验证了改进的粒子群算法有效结合粒子群的全局搜索能力和混沌优化局部搜索能力，能够保持低副瓣下形成较深的宽零陷，具有快速收敛和较好稳健性的优点。