向量在直线方程中的运用

杜盛伙

摘 要：向量已成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，用向量这个工具可以简捷地处理数学中的许多问题；利用直线的方向向量和法向量可以从另一个角度解决一些解析几何问题。

关键词：方向向量；法向量

人教A版选修2—1第三章《空间向量与立体几何》中介绍了直线的方向向量和法向量；对于直线L，在直线L上任取两点 ，则向量 及与它平行的向量都称为直线L的方向向量，而与直线L垂直的向量称为直线L的法向量。

设直线L的方程为 ，在直线上任取两点 、 ，则向量 及与它平行的向量都是直线L的方向向量；当 时，设向量 ，则向量 是直线L的方向向

量，且 = =

（ 为直线的斜率）；当 时，B=0，直线L与x轴垂直，设 =

（0，1），则 是直线L的方向向量，且 。

结论：向量 是直线 的方向向量，向量 是直线 的法向量。

下面就如何用直线 的法向量来解决有关直线斜率问题略举几例：

例1、（2013年山东数学（理））过点 作圆 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）

A. B.

C. D.

分析：由已知可知有一切点为（1，1），圆心C（1，0），由圆的几何性质知直线AB的法向量为 ，所以可设直线AB的方程为 ，把切点（1，1）代入得 ；所以选A。

例2、（2009宁夏海南卷文）已知 ，圆 与圆 关于直线 对称，则圆 的方程为：

A. B.

C. D.

分析：显然要求点 关于直线 的对称点 的坐标，过 作直线 的垂线，垂足为A ，则向量 是直线 的法向量，又因 也是直线的法向量，所以 ，故有 ①，又因 ②，由①②得 ，所以 的坐标为（2，-2），故选B；当然本题还有其

它解法，其中数形结合法最直接也最简单。

例3、（2009全国卷Ⅱ文）已知圆O： 和点A（1，2），则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形面积等于 。

分析：本题只须先求出切线方程，因点A（1，2）在圆上，故 是过A点切线的法向量，所以设切线方程为 ，又切线过A（1，2），可得C=-5，所以切线方程为 。

实际上我们还知道更一般的结论：设点P 是圆 上的一点，则过点P 的切线方程为 。下面用向量的方法来求出这条切线方程。

解：因为 是过切点P 的圆的切线的法向量，所以可设切线方程为 ，又点P 在切线上，则有 ，即 ，所以过点P 的切线方程为 。

例4、已知直线 ： 与直线 ： 互相垂直，求m的值。

分析：直线 的法向量 ，直线 的法向量 ，因 ，所以有 ，故有 ，解得： 或 。

例5、已知直线 ： 与直线 ： 平行，求a的值。

分析：直线 的法向量 ，直线 的法向量 ，因 ，所以 ，从而有 ，解得： 或

。

评注：例3、例4若用斜率来解，要分两种情况：斜率存在和斜率不存在；而运用向量来解可避开分类讨论，提高了解题效率。

例6、已知点M（2，3）和圆C： ，求过M点的圆的切线方程。

分析：设切点P ，因圆心C（1，0），所以向量 是过P点的切线的法向量；设切线方程为 ，又因切线过点P 和M（2，3），点P 在圆C上，所以有如下方程组：

解得： 或

所以所求切线方程为： 或 。

評注：本题若用圆心到直线的距离等于半径求解，需要分两种情况：（1）斜率存在；（2）斜率不存在。

总之，向量是一种很好的工具，用向量处理直线斜率问题，既避开了分类讨论，又体现了平面向量的工具性。

参考文献

[1]赵晓梅，潘继祥.向量数量积在代数显身手[J].中学数学杂志，2012（3）.

[2]王玉光，李亚男.自由向量在解析几何中的应用[J].高师理科学刊，2016（11）.