重温2010年江苏高考物理试题——不是抛物线是双曲线

杨德云 蒋天林

(江苏省六合高级中学 江苏 南京 211500)

双曲线是位于平面中的一种平滑曲线,可以定义为与两个固定的点的距离差是常数的点的轨迹.在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于x,y轴对称的情形.双曲线的标准方程为

焦点在x轴上时为

焦点在y轴上时为

【原题】如图1所示,一块橡皮用细线悬挂于O点,用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动,运动中始终保持悬线竖直,则橡皮运动的速度( )

图1 原题题图

A.大小和方向均不变

B.大小不变,方向改变

C.大小改变,方向不变

D.大小和方向均改变

解析:如图2所示,设细线长为l,以O′为坐标原点，橡皮运动到B点坐标为(x,y),由于“运动中始终保持悬线竖直”,所以有

y=l-(l-x)

y=x

结合题目条件由运动轨迹方程可知,橡皮水平方向和竖直方向都做匀速直线运动.若铅笔移动速度为v0,则橡皮实际运动是沿与水平方向成45°角的O′B方向做匀速直线运动,速度为

所以本题的正确选项为选项A.

图2 解析图

【进阶题】如图3所示,一块橡皮用细线悬挂于O点,现用一支铅笔贴着细线的左侧水平向右以速度v0匀速移动,运动过程中保持铅笔的高度不变,悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直,则在铅笔未碰到橡皮前,橡皮的运动情况是( )

A.橡皮在水平方向上做匀速运动

B.橡皮在竖直方向上做加速运动

C.橡皮的运动轨迹是抛物线

图3 进阶题题图

解析:悬挂橡皮的细线始终保持竖直,橡皮总是在铅笔的正下方,则橡皮在水平方向速度和铅笔的速度相同,故A正确.

将铅笔与绳子接触点的速度分解为沿绳方向和垂直于绳子方向,如图4所示,则沿绳子方向的分速度为v0sinθ,橡皮在竖直方向的分速度等于沿绳子方向上的分速度,所以橡皮在竖直方向做加速运动,故B正确.

图4 铅笔与绳子接触点的速度分解

如图5所示,设细线长为l,铅笔高度为h且保持不变,橡皮运动到A点坐标为(x,y),由于“运动中悬线始终保持竖直”,所以有

变形后得(设a=l-h,a为定值)

结合以上两式消去三角函数可得

图5 像皮运动轨迹求解分析图

由此可知方程对应的是双曲线,渐近线为y=±(x-a),橡皮实际运动的轨迹为双曲线的一部分(第一象限),如图6所示,故C错误.

图6 双曲线

根据平行四边形定则得：橡皮在图示位置时的速度大小为

故D错误.

在物理竞赛中，经常涉及到以下曲线方程：圆的方程、椭圆的方程、双曲线方程、抛物线方程，本文是一例直线和一例双曲线,供读者参考.