利用数形结合，解决函数问题

◆摘 要：随着基础教育改革的逐渐深入，数学核心素养的培养越来越受到数学基础教育工作者的关注。数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。

◆关键词：数形结合；一次函数

随着基础教育改革的逐渐深入，数学核心素养的培养越来越受到数学基础教育工作者的关注。数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等六个方面。笔者有幸在泰州市高新区举办的研讨活动“基于数学核心素养的初中数学教学研究与实践”中开设了一节研讨课。现将课堂实录（片段）及笔者的思考整理成文，以期得到同行的指正。

1课堂实录（教学片段）

1.1活动1：引入问题

教师：同学们，上节课已经复习了一次函数图像的基本性质，下面请一位同学回答上节课复习过程中，用到了哪些数学思想？

学生：数形结合的数学思想、转化的数学思想。

教师：很好。同学们，“数形结合”是数学中非常重要的一种思想方法，在函数背景中应用广泛，这节课就让我们继续来“玩转数形结合，提升函数认识”，进一步利用一次函数的图像解決问题。

请看例1、已知直线[l1]与x轴、y轴分别交于点A（2，0），B（0，-4）；直线[l2]：[y2=-2x+m]过（3，2）。

（1）求直线[l1]、[l2]的表达式。

（2）在平面直角坐标系中画出这两条直线，并给出交点P的坐标。

（学生计算并画图，教师在黑板上画出图形，请一名学生板演。）

学生：把（3，2）代入[y2=-2x+m]中得，m=8。设y=kx+b，把点A（2，0），B（0，-4）代入得，y=2x-4.在平面直角坐标系中画出直线[l1]、[l2]的图像，从图像中可看出两条直线的交点是（3，2）。

教学说明：本节课的教学内容是用一次函数图像的基本性质解决问题，因此笔者通过提问学生上节课复习时用的数学思想来引出本节课要复习的内容。问题的设计是（1）通过求两条直线的表达式继续复习一次函数的基本性质（2）通过数形结合的数学思想观察两条直线的交点。

1.2活动2：变式引领

教师：请看变式1：

一次函数y=kx+k（k<0）的图像大致是（ ）。

（学生讨论）

学生：因为k<0，所以y随x的增大而减小，呈下降趋势。与y轴的交点在y轴的负半轴。所以选D。

教师：回答正确。请看变式2：

若实数a、b、c满足a+b+c=0，且a

（学生讨论）

学生：因为a+b+c=0，且a0，a<0。所以选C。

教师：这位同学把握了问题的本质，回答正确。

教学说明：本问题重在考察用一次函数图像的基本性质解决问题，但变式训练的设置较难，引导学生通过数形结合的数学思想解决问题。

1.3活动3：掌握方法

教师：下面我们继续探究典例解析：

已知直线[l1]与x轴、y轴分别交于点A（2，0），B（0，-4）；直线[l2]：[y2=-2x+m]过（3，2）。

（1）直线[l2]与x轴、y轴分别交于点C、点D，求△ACP的面积。

（2）若点E是第一象限内的直线[l2]上的一个动点，在点E的运动过程中，试写出△ACE的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（学生板演，小组内讨论并解答，教师巡视。）

教师：老师发现多数同学快速地求出了C、D两点的坐标，并利用三角形的面积公式求出了△ACP的面积。第（1）问中点P为定点，而第（2）问中，点E是第一象限内的直线[l2]上的一个动点，那么由定点转化为动点，我们如何解决呢？

学生：可以把点P的纵坐标2转化为y=-2x+8，底AC的长度仍是2，而高由2转化为-2x+8，因此可以写出△ACE的面积S与x的函数关系式，也可写出自变量x的取值范围。

教师：回答正确。这位学生通过观察图形发现了第（1）问与第（2）问的区别与联系，用数形结合的数学思想巧妙地解决了定点与动点的问题。

教学说明：本问题重在考察学生通过数形结合的数学思想解决问题的能力，同时也考察学生如何把定点转化为动点，从而提升学生对一次函数的认识。

2教学反思

2.1紧扣“用一次函数图像的基本性质解决问题”这条数学知识线

从教材的知识结构来看，通过一次函数图像的基本性质解决问题是这节课的教学重点。从数学知识的本质来看，就是让学生用数形结合的数学思想去解决一次函数图像的实际问题。 因此，本节课的教学中，笔者始终紧扣“用一次函数图像的基本性质解决问题”这条数学知识线，通过画函数图像，培养学生的画图技能。通过变式训练，培养学生观察、比较、抽象和概括的能力，培养学生用“数形结合”的思想方法解决数学问题的能力，培养学生的应用意识和创新意识。

2.2数形结合的数学思想

数形结合思想是一种抽象思维和形象思维的结合，通过“以数助形”和“以形解数”的方法，能够降低思维难度，使复杂抽象的问题更加形象直观。数形结合思想是数学中非常重要的思想方法，对于提升学生数学能力，提升学生思维品质，培养学生数学素养都有非常重要的作用。因此在本节课的教学中，笔者非常注重变式训练和师生互动，一方面是希望启发学生的思维，培养他们的问题意识。另一方面，也希望他们在上课的过程中能够有这样一种体验：原来“以数助形”和“以形解数”这一方法很实用，从而体验数学的别样美。

2.3数形结合思想在中考中的应用

掌握“数形结合”在中考中的主要考点及题型。“数形结合”作为一种重要的数学思想，成为近年来中考热点考点，其考核点主要集中在以不等式、方程、函数、概率统计等为背景的知识点中的应用，而这其中以不等式、方程、概率统计作为考点的部分，多以选择、填空的基础形式出现，考核难度不大，学生得分率较高；而以函数背景结合的题目，往往以压轴题的形式出现，难度大，学生得分率低。因此，教师在“数形结合”专题复习中，既要结合考点进行，更要把握考点的题型与难度，在不等式、方程、概率统计的“数形结合”题中可以适当降低难度，而对于函数背景的“数形结合”题则应适当加强拓展训练，拔高变式训练的思维层次，让学生的思维进一步走向“高端”。在教学中应加强对学生解题技巧的培养。数形结合思想在中考题型中虽然不断推陈出新，但“利用代数方法研究图形性质，借助图形直观得到代数问题结论”的解题基本思路是一致的。

参考文献

[1]叶媛媛.数学思想方法之数形结合[J].中学数学教学参考，2017（3）：31-33.

[2]施兰英，张月萍.“学为中心”识数形锤炼思想话函数[J].中学数学教学参考，2017（11）：17-19.

[3]吴有昌，郑锦松.数形结合思想[J].中学数学教学参考，2018：112-115.

作者简介

刘冬艳（1980.11—），女，河南洛阳人，本科，中教一级，研究方向：数学课堂教学。