对重积分计算的再理解与教学创新

刘春兰

（朔州师范高等专科学校，山西朔州 036000）

1 二重积分计算概述

1.1 内涵

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。二重积分的计算方式主要是在极坐标系和直角坐标系的作用下来将二重积分转变为二次积分，进而利用两次定积分计算出二重积分。二重积分的计算本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

把二重积分化成二次积分，也就是把其中一个变量当成常量如Y，然后只对一个变量积分，得到一个只含Y的被积函数，再对Y积分即可完成操作。

1.2 直角坐标系下的二重积分计算步骤

第一，画图。根据题目的解答要求来确定积分区域范围内的各个边界曲线，根据具体的题目要求来选定区域。第二，简化计算。在简化计算能操作的时候判断出整个积分区的整体情况，经过细化分割之后思考积分是否是关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零与轮换对称性化计算。第三，确定积分区域类型。根据积分区域图形与被积函数特征，确定最终需要计算的积分区域的类型。第四，投影求型限。在具体计算操作的时候将积分区域投影到型变量对应的坐标轴上，确定型变量的范围、常值区间。第五，画线定余限。在型变量的取值范围内，做平行于余变量对应的坐标轴，并且同向的有向直线穿过积分区域，入点为下限，出点为上限：上下限一般为型变量的函数或者直接为常值。第六，余变先积分，最后积型变。

1.3 极坐标系下的二重积分计算步骤

第一，直角坐标系下画图(画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域。第二，简化计算。判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算。第三，确定坐标系。根据被积函数特征确定坐标系。第四，转换描述。借助直角坐标与极坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ转换被积函数表达式与积分区域边界曲线描述形式用极坐标描述。第五，确定积分区域类型。根据积分区域图形与被积函数特征，确定最终需要计算的积分区域的类型。第六，扫描求型限。对于简单θ-型，用x正半轴逆时钟扫描；对于简单ρ-型，从ρ=0开始，以极点为圆心，半径逐渐增大的同心圆扫描。第七，画线定余限。在型变量的取值范围内，做射线穿过积分区域，或以极点为圆心的圆逆时钟穿过区域，入点为下限，出点为上限：上下限一般为型变量的函数或者直接为常值。第八，余变先积分，最后积型变。

2 三重积分

2.1 内涵

设三元函数f(x，y，z)在区域Ω上具有一阶连续偏导数，将Ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为 r（i=1，2，...，n），体积记为 Δδi，||T||=max{ri}，在每个小区域内取点 f（ξi，ηi，ζi），作和式 Σf(ξi，ηi，ζi)Δδi，若该和式当||T||→0时的极限存在且唯一(与Ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dV，其中dV=dxdydz。

2.2 直角坐标系下的三重积分计算步骤

将三重分的计算转化为直角坐标系下的先二重积分后定积分的形式。直角坐标系下的截面法必须满足以下两个条件：被积函数 f（x,y,z）中至少缺两个变量；用平行于所缺变量的平面去截被积区域Ω所得截面的面积易求出。

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法，直角坐标系下的三重积分计算方式包含以下两种。第一种，先一后二法投影法。先一后二法投影法在操作时候需要计算竖直方向上的条积分，之后计算出底面积分。先一后二法投影法的区域条件是对积分区域的Ω无限制，函数条件是对f（x,y,z）无限制。第二，先二后一法。

在具体操作的时候先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。先二后一法的区域条件为积分区域Ω为平面或其他曲面所围成，基本函数条件是f（x，y）仅为一个变量的函数。

2.3 柱面坐标系下的三重积分计算步骤

适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定。柱面坐标系下的三重积分的区域条件为积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合；函数条件：（x，y，z）为含有与之相关的项。柱面坐标系下的投影法是把直角坐标系下的投影法中的投影区域用极坐标形式表示，区域Ω的上-下底面函数通过变换转化为关于ρ和θ的函数。

2.4 截面法下的三重积分计算步骤

截面法下的三重积分计算转化为柱面坐标系下次序为ρ-θ-z的三次积分。柱面坐标系下的截面法是将直角坐标系下的切片法中的切片用极坐标表示出来，柱面坐标系下的截面法是将三重积分化为三次积分。

3 重积分的教学完善

3.1 深入研究重难点问题，帮助学生更好地掌握基础知识

在教学的时候往往是将二重积分划为两次单积分进行计算，对于假设 f（x，y）≥0，D 可以表示为 ø1（x）≤y≤ø2（x），a≤x≤b，其中函数 ø1（x）、ø2（x）在区间[a，b]上呈现出连续的状态，按照二重积分的几何意义，的数值是以D为底的，以曲面z=f（x，y）为顶的曲定 柱体的体积，应用计算平行截面面积能够得到立体体积的计算方式。在学习的时候学生网网对二次积分的积分上下限和被积函数怎样限制经常会感到困惑，在解题的时候也容易出现错误。为此，在教学中教师可以做出如下的引导：（1）将重积分转变为累次积分之后，上限不能够比下限小，每个累计的积分上限要大于下限。（2）对于被积函数 f（x，y），教材上没有予以过多的限制，仅仅是假定 f（x，y）≥0，学生在解答的时候会产生困惑。

3.2 重视一题多解，发散思维能力

在重积分教学的时候教师不仅要引导学生注重课本上的例题解答方式，而且还需要引导学生应用其他方式来解题。比如例2：计算二重积分其中 D 是 x=y2，和所围成的区域（如图一所示）。对于这个题目，学生的常规解答方式是将二重积分化为先对x后对y的二次积分，积分限虽然正确，但是原函数无法用初等函数来表示。在教师的启发下学生开始尝试应用不同的方式解答。在将二重积分化为先对x后对y的二次积分得到：考虑到在x固定的时候是关于y的奇函数，因而对称区间的积分数值是0，=0，=0，由此计算得到=0.在解答题目的时候通过应用不同的处理方式能够拓展学生的学习思路，培养学生发散思维。

3.3 归纳总结将所学知识系统化处理，培养学生综合能力

在应用对称性计算二重积分和三重积分的时候，课本上往往没有进行归纳总结，使得学生在具体计算的时候时常出现错误。比RU例3：计算二重积分是矩形区域-2≤x≤2，-1≤y≤1，学生往往错误理解为D1是矩形区域上的0≤x≤2，0≤y≤1，具体如图二所示。利用对称性得到出现这样的错误解题是学生没有对二重积分应该在怎样条件下利用对称性没有真正掌握。从实际操作情况来看，二重积分想要转变为积分区域上的二重积分需要满足以下几个方面的条件：（1）积分区域D是关于横纵轴的对称。（2）被积函数分别是关于横纵轴的函数。虽然D区域上横纵轴是对称的，但是被积函数关于横纵轴都不是偶函数，因此得到：

图2 D1矩形图

在应用对称性来计算定积分、二重积分和三重积分的时候需要注重考虑一元函数积分区间的对称性问题，即积分区间具有对称性的特点，被积函数也具备对称性的特点。二重积分则是要求积分区域和被积函数都具备对称性的关系。