改进阈值函数的图像去噪方法*

帅慕蓉，廖秀英，程 辉，谢贻文，杨鹏飞

(1.湖南科技大学 资源环境与安全工程学院，湖南 湘潭 411201; 2.湖南科技大学 先进矿山装备教育部工程研究中心，湖南 湘潭 411201)

0 引 言

图像在采集、生成、传输过程中会受到不同程度的噪声污染，导致图像出现模糊或受损，继而影响图像后续的分析与研究。目前，广泛应用的图像去噪算法是由Donoho D L和Johnstone I M提出的基于小波变化的小波阈值去噪算法[1,2]。因传统的硬阈值函数在定义域内不连续，对大于阈值的小波系数进行处理时，未考虑低频区也存在噪声的现象,导致图像出现视觉上振铃效应的失真[3,4]，而软阈值函数在阈值处不间断，但其导数不连续，对大于阈值的小波系数沿某一恒定量向零进行收缩，这个过程会存在恒定的偏差，并丢失一些高频信息，导致图像出现边缘模糊[5,6]。针对传统阈值函数去噪中存在的不足，国内外研究人员提出了大量的改进去噪算法[7,8],改进的软硬阈值折中法[9]和自适应特征阈值法[10]等。Andrew Bruce提出了半软阈值函数算法[11]利用上下阈值来调节控制多尺度分解的小波系数和估计小波系数的偏差，虽然去噪效果优于传统算法，但在求解2个阈值时增加了计算的复杂度；王世礼[12]提出了一种基于模糊控制的新阈值函数算法，虽然函数高阶可导并增加了3个可调节参数，去噪效果得到了优化，但对大于阈值部分的小波系数并未彻底进行排除噪声存在的处理；叶裕雷[13]等人提出的阈值函数，虽然函数是连续的，但没有给出阈值合理选取的方法，其去噪效果仍存在不足。

本文在半软阈值函数的基础上，提出了一种改进的阈值函数，选取了一种结合尺度分解的改进阈值进行去噪处理。通过仿真测试对去噪效果进行分析，改进后的阈值函数算法在图像细节保留上更完善，去噪效果得到更大的提升。

1 小波阈值去噪原理

因图像有效信号与噪声在不同分解尺度下所得到的小波系数具有不同的变化特征，经小波分解后的低频区域被认为是有效信息，集中着较大的小波系数，而噪声分布在高频区域，集中着较小的小波系数。按照小波系数的幅值变化特征预先设定一个合适阈值，并遵循一定的数学准则，将混合的小波系数进行分离处理，对大于阈值的小波系数给予最大程度的保留，而小于阈值的小波系数完全将其置零，最后将处理后的估计小波系数进行小波逆变换，从而得到重构后的最优图像。小波阈值去噪过程的基本数学模型如下

fopt=arg min‖f(I)-Im‖,Iopt=fopt(I),I=Im+In

(1)

式中f为实际图像空间与小波函数空间的映射关系，下标opt为最优解，Im为原始图像信号，In为噪声信号，I为受污染后的图像

2 阈值函数的构造与阈值的选取

2.1 传统阈值函数

在小波阈值图像去噪中，采用阈值函数对选定的阈值进行处理。常用的阈值函数有：硬阈值函数、软阈值函数和半软阈值函数，如式(2)～式(4)所示

2.2 改进的阈值函数

在硬阈值函数去噪方法中，经硬阈值处理后的小波系数在阈值±λ处不连续，导致小波重构后的光滑性差；在软阈值函数去噪方法中，虽然经软阈值处理后的小波系数整体上不间断，但其在阈值处不可导，导致估计的小波系数与真实的小波系数之间存在一定的偏差，同时丢失的高频信息影响着小波重构的精度；而硬阈值函数和软阈值函数的折衷就形成了半软阈值函数，含有上下阈值的特性，具有较好的连续性。

本文针对传统阈值函数的缺陷及在半软函数的基础上，提出了一种改进的阈值函数

λ1=γλ2

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2.3 阈值的选取

如果选取一个较大的阈值会导致图像细节的严重丢失，使得图像变得模糊，而阈值设定太小又不能有效去除图像噪声。目前，阈值主要有全局阈值和局部阈值，常用的全局阈值选取方法有：统一阈值、SureShrink阈值、MapShrink阈值、GCV(generalized cross validation)阈值、BayerShrink阈值、最大最小阈值等[14,15]。统一阈值因公式简单且易运算，所以得到了广泛的应用，但其对任意层上的小波系数都取同一数值使得小波系数被“过扼杀”，导致小波重构后的图像容易模糊。针对统一阈值所存在的不足，本文选取一种改进后的阈值公式[11]

(8)

3 实验结果与分析

为了检测改进的函数在小波阈值去噪中的有效性，本文选取了512×512的Lena灰度图像作为实验测试数据。在小波阈值去噪过程中，图像去噪的效果受到小波基和小波分解层的影响，因此,本文的实验仿真选用小波基函数为sym8，小波分解层为3，阈值函数中的可调参数α，β和γ分别设置为0.5,0.9,0.1。在MATLAB平台下采用硬阈值函数、软阈值函数、半软阈值函数和改进后的阈值函数算法对含高斯噪声图像进行小波阈值去噪。针对Lena标准图像添加了均值为0，方差分别为0.006,0.008,0.01,0.02,0.03,0.04和0.05的高斯随机噪声，采用不同的阈值函数方法进行小波去噪处理，并从主观和客观角度进行对比分析。

3.1 主观评价

对Lena原始灰度图像添加方差为0.01和0.05的高斯噪声，分别采用4种阈值函数对其进行降噪处理，去噪后的效果图如图1和图2所示。

图1 方差为0.01的不同阈值函数去噪效果

图2 方差为0.05的不同阈值函数去噪效果

从去噪后的效果图中可直观的反映：1)当方差为0.01时，因Lena图像受随机分布的高斯噪声影响程度小，通过不同阈值函数对其进行小波阈值去噪，去噪后的效果差异明显；2)在硬阈值函数去噪处理后的图像中，局部范围仍存在着噪声污染，其降噪效果不理想；3)在软阈值函数去噪中，所有的噪声能被剔除，但是去噪后的图像平滑太严重，导致图像很模糊；4)半软阈值函数去噪具有软阈值函数的所有优势，且提高了图像的清晰度；而本文改进后的阈值函数在去噪过程中能有效地滤除噪声，在保留了图像边缘轮廓和纹理细节信息的前提下，图像的亮度和对比度得到提高；5)当方差为0.05时，图像受到高斯噪声的严重污染，硬、半软阈值函数去噪时还存在大量的斑点噪声，导致图像失真较严重，而改进的新阈值函数去噪效果明显优于传统的方法，且最大程度的保留了图像的细节和边缘。

3.2 客观评价

选用的图像定量评价指标有：全参考型的峰值信噪比(peak signal noise ratio,PSNR)、均值绝对误差(mean absolute deviation,MAE)和边缘保持指数(edge preserve index,EPI)。若MAE数值越小，PSNR值越大，表明目标图像的质量越好，反之则反；EPI的取值范围为 ，当EPI值越大时，表明图像的边缘细节信息保留的更好

式中f(i,j)为标准原图像的像素值(1≤i≤M且1≤j≤N)，(i,j)为滤波后图像的像素值，M为图像的宽度，N为图像的长度，L为图像中的最大灰度值，m为图像中的总像元数量，pt为去噪后的像元值，ptn为pt的相邻像元值，pr为原始图像的像元值，prn为pr的相邻像元值。

为了验证本文改进的阈值函数去噪的性能，将本文去噪的方法与传统的阈值函数去噪方法分别进行仿真试验，其结果如图3所示。

图3 仿真实验结果

从图3(a)和(c)可知，采用不同的阈值函数对添加了不同程度方差下的高斯噪声进行处理，其去噪后的效果不同。改进后的阈值函数去噪与其他3种阈值函数去噪相比，PSNR值整体上都大于其他去噪函数算法，且PSNR值随噪声方差的增大而减小，但下降幅度小于硬、半软阈值函数，同时改进的阈值函数去噪后的MAE值都远小于其他算法，表明改进后的阈值函数在去噪效果上明显优于传统的算法。从图4(b)可知，本文所改进的阈值函数去噪方法在EPI指标数值上更优，图像边缘和细节保留方面更加理想。从图4(d)可知，本文改进算法的去噪性能远远优于硬、软和半软阈值函数。

4 结 论

本文方法避免了传统阈值函数法中的不连续、偏差等问题，选取了合理的小波基和基于分解尺度改进的阈值进行去噪处理。与硬阈值、软阈值和半软阈值函数去噪方法对比，从主观角度上可以看出改进的阈值函数不仅在不同程度的高斯噪声下能有效去噪，且图像整体上较清晰，从PSNR、MAE和EPI客观指标上能具体表明本文算法在去噪的过程中能有效地保留图像边缘和细节信息，去噪性能明显优于其他方法。