关于布尔函数的布尔导数、e导数和c导数相互关系的研究

王芳

（浙江艺术职业学院影视技术系，浙江杭州310053）

布尔函数的布尔导数、e导数和c导数是布尔代数中3种重要的特殊运算导数，其在探讨H-布尔函数、Bent函数密码学性质及检测组合逻辑电路故障和揭示布尔函数的内部结构中有广泛应用[1-8]。本文通过研究布尔函数的布尔导数、e导数和c导数这3类特殊导数，进一步揭示布尔函数的内部结构及相关性质。

1 布尔函数一阶与高阶布尔导数、e导数和c导数的相互关系及性质

2 布尔函数的布尔偏导数、e偏导数和c偏导数的相互关系及性质

3 讨 论

3.1 如果用布尔函数的1值最小项集合表示该布尔函数，则布尔导数集、e导数集和c导数集可分别用来表示布尔导数、e导数和c导数。从性质1和性质2可以看出，e导数集是c导数集的一个子集。性质3和性质4表示布尔导数集也是c导数集的一个子集。性质5表示e导数集与布尔导数集的交集为空集，即e导数与布尔导数不相交，因此它们是c导数集合中2个不相交的子集。性质13则表示e导数集与布尔导数集的并集组成c导数集。

3.2 由性质9和性质12不难看出，可以通过布尔导数与c导数的“异或”运算或者布尔导数之反和c导数的“与”运算得到e导数。性质10和性质11表示通过e导数与c导数的“异或”运算或者e导数之反和c导数的“与”运算得到布尔导数。性质8和性质13则表示通过e导数和布尔导数的“异或”运算或者“或”运算得到c导数。总之，布尔函数的3种导数是密切相关的，只要知道其中2个，便可求得另一个。这意味着如果已知布尔函数从0→1，1→0以及1→1的变化行为,便可推测函数0→0的变化行为。

3.3 第2节相关推论表明，上述结论同样适用于高阶布尔导数、e导数和c导数。

3.4 从性质14～性质18、推论14～推论18可以看出，e偏导数集和布尔偏导数集均为c偏导数的子集，而且e偏导数集与布尔偏导数集不相交，但他们的并集仍是c偏导数集的子集，不能构成c偏导数全集。推论21～推论26、性质21～性质26则表示布尔函数的3种偏导数之间不存在紧密关系，无法由已知的2个偏导数求得另一偏导数。

4 结 论

提出了布尔函数一阶与高阶布尔导数、e导数和c导数及布尔偏导数、e偏导数和c偏导数的相互关系，给出了相关性质并进行了证明，完善了3类特殊运算的理论研究，为进一步揭示布尔函数内部结构和相关性质，开拓其应用领域奠定了一定基础。