初中重构三角首次全程教学的课程设计研究

(1.广州市海珠外国语实验中学， 广东 广州 510230； 2.广州大学 计算科技研究院， 广东 广州 510006)

1989年文献[1]中提出了教育数学的观点：为了数学教育的需要，对数学成果进行再创造，是“教育数学”的任务. 其中涉及中学课程中三角和几何的知识结构改革的想法[2-3]， 后来这一思想得到进一步的丰富和发展[4-7]．

教育数学这一理论能够均衡数学教育中“教育方面”与“数学方面”的关系[8]，是数学的三种(原始、学术、教育)形态之一[9]，它赋予了数学亲近和简巧的感觉，易于被人接受，在教学实践中小试牛刀便发挥出了威力[10]，究其缘由，发现其真正的旨趣所在便是改造数学使之更适宜教学和学习[11]，在规模实践中能展现出数学教育改革的关键与核心是其在课程改革上的理论成果[12]．有些研究者尝试构建包含数学本质、数学展现、认知特征、课程目标四个维度的教育数学分析框架[13]，探索教育数学成果的判别标准[14]，这些使得教育数学的理论研究也日渐羽丰翼满．同时，这些方面相关工作和进展开始得到数学家的支持[15]．近期在广州召开的“教育数学与中小学课程专题研讨会”上[16]，诸多数学教育界的专家学者对教育数学进行剖析和把脉，为教育数学怎样更好地促进数学课程改革群策群力．本文也是对这次会议所形成建议的一个呼应．

教育数学在初中阶段的舞台上，三角是其研究内容的一方面.按现行的义务教育数学课程标准，在九年级同时引进4种三角比，而正弦就是其一．教材中把“直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，叫做这个锐角的正弦”，此定义形成于16世纪．到高中阶段，再引进18世纪数学家欧拉所建立的三角函数定义系统．

按照这样的数学定义体系，正弦是较为深层的概念．即便仅仅讲锐角的正弦，须先有相似形知识，故只能到九年级才能教．然而对于七八年级学生来说，正是逻辑思维形成的关键阶段，这个阶段让他们体会不同种类知识之间的联系，对激发其思维能力非常重要．三角中正弦概念，是数形结合的纽带，是代数与几何间的桥梁．

能否设想在七年级就引入正弦，使学生早些把代数、几何和三角方面的知识串通起来，并使他们体会先进的函数思想呢？这一想法并非独创，著名的数学教育家和数学家弗赖登塔尔早就提出让中学生提前两年学习三角的想法[17]，而且主张一开始只学正弦，并把正弦作为最早介绍给学生的函数例子之一．由于未能发现三角知识是如何在小学数学基础上产生的，他的设想未能进入教学设计层面.作者为实现这一设想，考虑图1所示几何模型：在任意△ABC的两边AB和AC上分别取点P和Q，使AP=AQ=1，分别以S△ABC和SAPQ记△ABC和△APQ的面积．则由小学知识便得：

图1 几何模型Fig.1 Geometry model

可见，任意△ABC的面积与其两边AB、AC的乘积之比，是一个仅仅与这两边夹角A大小有关的数值，即顶角为A两腰为1的等腰三角形的面积S△APQ．

一个重要的特例，是∠ACB为直角的情形，如图2．这时有

图2 直角三角形模型Fig.2 Right-angled triangle model

也就是说，在直角三角形中，锐角A的对边与斜边之比，仅仅与角A大小有关，其数值等于顶角为A两腰为1的等腰三角形面积的2倍，即2S△APQ；直观地说，就是边长为1且有一个角为A的菱形面积，即有一个角为A的单位菱形面积．

这样引入正弦，就不依赖相似三角形的知识．

作为过渡性教学设计，直接把“有一个角为α的边长为1的菱形的面积”定义为sinα[2-4,6-7]. 其出发点是小学生都熟悉的矩形面积等于长乘宽(图3)：

图3 矩形面积Fig.3 Rectangle area

如果把此矩形变斜，变成平行四边形，单位正方形相应地就成了边长为1的菱形，其面积公式见图4.

图4 平行四边形面积Fig.4 Parallelogram area

图4的等式右端最后一个图形指“有一个角为α的边长为1的菱形面积”，给它命名“角α的正弦”，用符号sinα表示，可得到一个平行四边形的面积公式．再取其一半，则是已知两边一夹角的三角形面积公式：

把这个式子同时乘以2，再同时除以abc，即可推出正弦定理．当∠ACB为直角时，又可推出“直角三角形中，锐角的正弦为对边与斜边之比”．

按照上述方式得到的正弦定义有着更简单、更直观、更严谨(直角的正弦值为1，本定义的解释为它是单位正方形的面积，而课本上则要用极限来解释)、更一般(本定义覆盖了锐角、钝角、直角和平角的情形，而课本上只指锐角)的优势．

在文献[18]和[19]中，建议使用单位菱形面积来引入正弦，并在七年级就开始学习三角．国内数学教育领域专家张奠宙[20]当即发文回应，并提出宝贵建议．他在2009年出版的《我亲历的数学教育》中回顾此事时还写道：“如果三角学真的有一天会下放到小学的话，这大约是一个历史起点”[21]．

在《一线串通的初等数学》(下简称《一线串》)中[22]，为“重构三角”课程改革提供了系统性可操作方案．同时，也有著作探讨了相应的几何解题方法与公理体系[23]．

此方案在理论上是诱人的，但在教学实践层面上，从传统视角看似不妥，在应试教育的大环境中更被认为有风险，因而在文献[2]中提出的用单位菱形面积定义正弦，近30年后才有相关教学尝试的报导. 且在32年后才出现首次初中全程教学实验，即2012年开始的广州市海珠外国语实验中学的重构三角教学实验(下简称海珠实验).本文主要报道该实验的设计和实施情况．

1 初步教学实验案例回顾

用单位菱形面积定义正弦在教学中实施的最早文献，均见于2008年.其中既有高中的辅助教学，也有初中的主课教学.

1.1 王文俊在高中的实验

华东师范大学王文俊[24]认为：“大部分老师和学生比较欣赏并认可三角函数新定义体系.在教学实践后，高一新生能很快记住新定义，合理地应用新定义解释相关性质和公式，并运用三角公式来解题.高二学生通过新定义初步学习，感受到了用面积定义正弦的新颖性，较客观地认识新定义与初、高中三角函数定义各自优势.特别是,与高二学生相比，未学过高中三角函数定义的高一学生对用面积定义正弦表现出更大的兴趣，新定义体系能让学生更容易地掌握三角部分内容．

1.2 王雅琼在高中的实验

青海民族学院数学系王雅琼[25]总结了利用菱形的面积定义正弦的好处：“赋予角的正弦新的几何意义，具有较强的直观性，学生易于接受，特别让刚学习三角函数的学生较快地建立直观理解.”，这种方式，让学生深感巧妙、激发兴趣，开拓了学生思维．

1.3 崔雪芳在初中的实验

宁波教育学院崔雪芳在初一普通班上了一堂“角的正弦”的实验课.实验过程显示[26]：三角和面积相联系，比起直角三角形的‘对边比斜边’定义更为直观，更易掌握，降低了教学台阶；教学引申更加顺利，学生能够保持浓厚的兴趣，对后续的学习也产生了期待；全新的课程体系有利于学生‘数形’融合，让后续学习的思维空间得到拓展；在三角、几何、代数这三者间搭建起相互联系的思维通路”．

崔雪芳还组织过另外七个班进行实验[27]，同样得出在初一“以‘单位菱形面积’定义正弦引进三角函数的可行性；并且此种方式有利于学生自主构建直观的数学模型，能够总结出多种数学学习方法，有利于把握其‘数学本质’.

上述几位老师的教学实验，初步验证了文献[18]、[19]中重建三角设想的可行性，为初中的全程实验提供了经验和信心．

2 海珠实验的背景和教学框架设计与课时安排

教学改革中全过程的实验，无疑是非常重要的．广州市科协在2012年启动千师万苗工程项目，海珠实验进行了贯穿初中三年全程的“重构三角”教学实验．

海珠实验在2012年6月专门设立了两个“数学教育创新实验班”，生源主要是七年级新生中数学相对薄弱的学生．在分班测验中实验一班数学平均分为62.5分、实验二班为64分．两个实验班共有105名学生，数学课由青年教师张东方教授．由于实验可能导致学生成绩不稳定，学校承诺无论中考成绩如何，均接受两个班的学生入读本校高中．

实验班数学教学内容将《一线串》的主要内容与人教版数学教材(国家课程标准配套)的知识点进行整合[22]，组合成一种新的体系结构.初中三年中共有358节数学课(九年级下学期48节，其余5个学期都是62节，每节40 min)，笔者根据《一线串》的内容设计了93节课，其余265节课基本上按国家课程标准教材来讲．

此外笔者还设计了3节“热身课”，作为课外活动放在七年级上学期(下文简称“七上”等)，引导学生讨论一些有趣的问题，培养他们思考探究的兴趣. 具体见表1.

表1 七年级上学期课时安排表

七下将23节课用于介绍书中第一站的内容，包括引入正弦、推出正弦定理以及介绍正弦在实际测量和探究三角形性质时的应用．课时具体安排见表2和图5.

表2 七年级下学期课时安排表

图5 七年级下学期正弦和正弦定理的课时安排表Fig.5 Syllabus on sine and sine theorem for 2nd semester, grade seven

图5中“补充”部分指在第1章中没有提到的内容．

八上用24节课介绍第2章的内容．推出了正弦和角公式，作为推论得到一些特殊角的正弦值．在学习正弦和角公式的过程中，串通起来学习八下的第十七章勾股定理和九上的第二十一章一元二次方程．课时具体安排见表3和图6.

图6中“补充”部分指在第2章中没有提到的内容， “未讲”部分指第2章中包含但教学中略去的内容．

表3 八年级上学期课时安排表

图6 八年级上学期正弦和角公式的课时安排表Fig.6 Curriculum scheme of 1st semester of grade eight in Angle sum and difference indentities

授课教师考虑到其中第3章的分量较重，需暂时缓一下；八下用15节课讲第4章的内容，复习巩固前面获得的知识，并探究四边形的性质. 课时具体安排见表4和图7.

表4 八年级下学期课时安排表

图7中“补充”部分指在第4章中没有提到的内容，“未学”部分指第4章中包含但教学中略去的内容．

图7 八年级下学期四边形的课时安排表Fig.7 Syllabus on quadrilateral for semester 1, grade eight

九上用14节课来引入余弦和余弦定理，介绍其应用，这是第3章的内容；用16节课讲述第5章的内容，含圆和正多边形的性质，并引入正切和余切，探究四种三角函数的关系及其应用．课时具体安排见表5、图8和图9.

表5 九年级上学期课时安排表

图8 九年级上学期余弦和余弦定理的课时安排表Fig.8 Syllabus on cosine and cosine theorem for grade nine

图9 九年级上学期圆和正多边形的课时安排表Fig.9 Syllabus of circle and regular polygon for semester 1, grade nine

图9中“补充”部分指在第5章中没有提到的内容，“未讲”部分指第5章中包含但教学中略去的内容．

在实验过程中，教学使用了动态几何软件《超级画板》等技术支持，组织多种课外活动，提高学生的学习兴趣，减轻教师的教学负担．

3 实验过程中若干课例和效果显现

下面例子来自实验过程中各学期一些关键课内容，有关插图取自相应课件.

课例1、七下：引入正弦和三角形面积新公式．

类比矩形面积的计算，探究如何由两边及其夹角的数据出发计算平行四边形面积，从而引进正弦的另一种定义方法，并导出已知两边及其夹角计算三角形面积的新公式，见图10～图12．

图10 启示Fig.10 Enlightenment

图11 引入正弦Fig.11 Import sine

图12 面积公式Fig.12 Area formula

课例2、七下:引入正弦定理．

有了三角形面积的新公式

将上式乘以2再除以abc， 便得到正弦定理

当∠C为直角时，推出与传统定义一致的等式

进而介绍一些应用和很有用的推论，见图13～图16．

图13 正弦定理Fig.13 Sine theorem

图14 直角三角形中锐角正弦Fig.14 Acute sine in Right-angled triangle

图15 例题Fig.15 Example

图16 相似三角形角角判定法Fig.16 Angle-Angle decision method of similar Triangle

课例3、七下：正弦的增减性．

利用面积公式，可以探究正弦的增减性，如图17，结合正弦定理，便可得到“三角形中大角对大边，大边对大角”等有用的性质．

图17 正弦增减性质定理Fig.17 Sine increase and decrease theorem

课例4、八上：正弦和角公式．

用三角形的高把它分成两个部分，分别计算整个三角形的面积和两部分的面积列出等式，整理得正弦加法定理：

sin(α+β)=sinα·sin(90°-β)+

sinβ·sin(90°-α).

取其特例可得一些特殊角的正弦值以及勾股定理，顺便引出二次根式以及二次方程等内容,见18～图22．

图18 推导Fig.18 Derivation

图19 求30°角正弦值Fig.19 Find sine value of 30 degress

图20 求45°角正弦值Fig.20 Find sine value of 45 degrees

图21 求60°角正弦值Fig.21 Find sine value of 60 degrees

图22 推导出勾股定理Fig.22 Derived the Pythagorean theorem

正弦的提前引入改变了整个初中几何教学的格局，许多几何知识和代数工具，被“正弦”巧妙地串联起来了．例如,正弦定理的引入为解任意三角形提供了便利的工具，推出了相似三角形的主要判定定理，正弦的增减性质导出了“三角形中大角对大边，大边对大角”和“三角形两边之和大于第三边”等三角形重要性质．而正弦和角公式把几个特殊角的正弦值、勾股定理、一次和二次方程以及根式都连在一起了，知识相互联系更加紧密，学生学得进、记得住、用得活，又一次验证了文献[24-27]中所述的教学效果．

关于勾股定理，并不是简单地推出了事．教师首先根据教材的内容讲毕达哥拉斯发现勾股定理的过程，再和学生一起推导“弦图证明勾股定理”的方法，其次再介绍总统证法，最后引导学生用已学的正弦和角公式推出勾股定理．在学习和推导过程中，学生们掌握了不同的推导方法，亲身感受了一题多解的魅力，在实现拓展新知识的同时体会推陈出新的转化，极大提升了自信．

课例5、九上：余弦和余弦定理．

把余角的正弦称为余弦，即引入定义

然后作为三元一次方程应用例子引入余弦定理,见图23～图25．其中图24(负角的正弦)出自王鹏远设计的课件，但在海珠实验中这部分被略去．

图23 余弦Fig.23 Cosine

图24 负角及其正弦的几何意义Fig.24 Geometric meaning of Negative angle and its sine

图25 推导出余弦定理

课例6、九上：余弦定理的应用和推论．

正弦定理解决了“角角边”情形下的相似、全等的判定和解任意三角形的问题．有了余弦定理，“边边边”和“边角边”的相应问题迎刃而解，对三角形的认识基本完成．还得到勾股定理的逆定理，以及三斜求积公式，见图26．

图26 三斜求积公式Fig.26 Tri-oblique quadrature formula

除上述涉及三角的课例之外，在其他某些部分也参照《一线串》做了有益尝试．如在证明平行四边形对边相等时，给出了五种判定方法，其中运用平行线面积性质的方法，所需要的预备知识较少，推导简洁明了．学生在探索中体会不同方法的优势，对于知识的积累与延伸以及解题思维的培养有很好的促进作用．有关“圆”的内容，也参照讲了弦心距公式、弦切角定理、公切线长度公式、公切线的性质．根据这些知识，学生们可以更为轻松地推出正多边形的边长公式、周长公式、边心距公式和面积公式；引入用平角度量角的大小，不仅简化了教科书中的弧长公式和扇形面积公式，更为高中的弧度制学习打下了基础．学生掌握更多工具，拓宽推导探索的思路，从而分析和解决问题的能力也得以提升．

4 相关实验显示出的效果

用面积方法引入正弦的教学实验效果在前面结论中已经显示，在本次全程性的教学试验中，效果更加明显．

从成绩上也可直接体现．一学年后，实验一班和二班在区的统一测试中，分别以平均分140分和138分领先于区平均91分的成绩(满分150分)，在全区80个班中为第一名和第八名．一个半学年后，以平均分136分和133分(区平均87.76分)，排在第一和第五.两个学年后，两班分别以145分和141分(区平均96.83分)，分列第一和第三.两个半学年后，两班以137.5分和129.75分(区平均93分)，分别是第一和第五名．

在中考考试中，两个实验班的数学成绩平均分分别为131.47分和131.11分，数学单科优秀率百分百，分别位列区第一和第二(该校的中考数学成绩单科优秀率66.91%)．同时也发现，数学素养的提高对其他各科成绩都有正面影响，这两个班中考总成绩平均分分别为733.96分和730.25分，显著地超过了其他4个对照班664的平均分，更是超过广州市中考总平均532.50分．

实验中，教材结构经过重构三角方案的调整后，学生易于掌握，并且也可以看出学生在探索和解题的能力方面明显提升，表现在解决综合题的能力大大增强，例如在某次期末考试中，全区共有15名同学成功解答压轴综合题，其中有12名就来自于这两个实验班．

5 初步体会和进一步的工作设想

海珠实验的效果给人以深刻的印象，能够获得这样效果的原因，的确值得深入分析．通过对数学课程内容和知识点结构进行改革,能够使得知识点间联系更加紧密,由原来的“拼盘”式课程变成本文中的“色拉”式课程，这正是新时代课程改革的一个方向——打造综合课程．综合课程能够加强不同科目之间的联系和渗透，互相连接，互为补充，共同促进学生的全面发展．

同时，把数学知识组织成有机的整体呈现给学生，能够有效地激发他们的思考．在组织设计教学内容及其呈现方式时，想的是如何把小学、初中、高中的知识串通起来，把计算、推理、图形的方法串通起来，把几何、三角、代数的体系串通起来，把情景、技巧、通法的思维串通起来．在这个认识的基础上，还有大量有意义的事情要做．

(1)更细致具体地探索学生取得好成绩的主要原因，进一步了解学生的感受，分析其学习过程中的数据，总结出更深层次的数学教育的规律性．

(2)在更多学校和班级做类似的实验，以检验其效果的可重复性，并获得更多基本数据．目前，除海珠实验外，广州市还有15所中学开始进行类似实验，其他城市也有若干学校加入实验行列．

(3)跟踪实验班学生在后续阶段学习数学和其他科目的表现，并和未参与实验的同学比照，观察是否有相应的差异．

(4)基于此来创新出更多相关的课程设计并且编写新的教科书，为更大规模的教学实验做好准备．

(5)进一步总结教育数学的实践成果，凝练教育数学的思想，探索其在其它学段的教学方案[28]，并延拓至其它课程中.

上述实验使教育数学的研究和实践进入了一个新的阶段，为数学教学的改革提供了一个全新的可供选择的操作方案．相信它对数学教育改革的研究思路和方法将会产生较大的影响．