左顾右盼话分段函数

冯 寅

(浙江省湖州中学 313000)

分段函数是高中阶段常见的函数形式，由于它在不同的区间上的表达式不同，所以在解决问题时一定要关注在不同段上的表达式的特点，这样才能从整体上处理好分段函数的问题.

一、左右交替的求值

求分段函数的某个函数值，是和分段函数有关问题中最常见的，所求的函数值往往和分段函数的不同形式都有关系，这时要求我们注意每段的条件，经常在不同分段中交替求值.

分析这个问题想要求出f(f(a))的表达式比较困难，它即和a的范围有关，也和f(a)的范围有关，这样的分类讨论很困难，所以我把f(a)看成一个整体来分类讨论.

二、左右衔接的单调

在分段函数中研究函数的单调性，要分别考虑不同段的单调性，还要考虑在分段点处的衔接，分段点的不同取值可以保持或改变两段的单调性.

问题3 已知a>0，函数f(x)=

下面观察分段点x=0的情况.

然后考虑在分段点的函数值情况，应该满足函数y=(3a-1)x+4a在x=1时的函数值，不小于函数y=logax在x=1时的函数值，即(3a-1)+4a≥0. (2)

三、左右交叉的奇偶

函数的奇偶性必须研究定义域范围内的所有实数，所以研究分段函数奇偶性时要注意每段都要研究，并且注意每段都要兼顾交叉.

分析判断函数的奇偶性必需按照奇偶性的定义，对定义域内的所有实数进行分析验证，对分段函数的情况，函数的取值还要考虑分段函数的要求.

当x>0时，-x<0，则f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=x2-2x+3=-f(x)；

当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-x2-2x-3=-f(x)；

当x=0时，f(-0)=-f(0)=0.

因此，函数f(x)是R上的奇函数.

分析此题的关键是如何利用f(x)为R上的奇函数的条件，确定g(x)的表达式.

因此g(x)=-x2+2x，所以g(-1)=-3，f(g(-1))=f(-3)=g(-3)=-(-3)2+2×(-3)=-15.

四、左右分割的零点

分段函数的零点由于在不同段的函数表达式不同，所以要分段独立思考，通过不同段上的研究再整合为整体的情况.

分析1 代数方法分类讨论.

从分段函数的解析式可知，f(x)=2x-a在区间(-∞,1]上是增函数，所以最多只有一个零点. 设零点为x0，即f(x0)=0，则2x0-a=0，则x0=log2a，因此，0

下面对a进行讨论，研究函数整体的零点存在情况.

(1)当a≤0时,f(x)=2x-a(x<1)无零点；f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)无零点！

(2)当0

(3)当a≥2时,f(x)=2x-a(x<1)无零点；要使原函数有且只有两个零点，必须f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)恰有两个零点a,2a，故a≥2.

分析2 利用函数图象分析

(1)当a≥1时，因为f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)已有两个零点a,2a，要使f(x)恰有两个零点，必须f(x)=2x-a(x<1)无零点.

作出函数的图象(图1)，可知2-a≤0，即a≥2.

(2)当a<1时，因为f(x)=2x-a(x<1)有一个零点，要使f(x)恰有两个零点，必须f(x)=4(x-a)(x-2a)(x≥1)只有一个零点.

五、左右比较的最值

当分段函数遇到函数的最大(小)值问题时，一般都会先分段确定函数的最大(小)值，再根据条件对确定的最大(小)值进行分析比对，找到符合整体要求的最大(小)值.

从上述的五个方面的研究，我们可以看出分段函数的性质研究，必需在函数性质研究的基础上关注不同段上函数性质的特点，通过每段的分解、合成、交叉解决分段函数的问题.