从一道导数压轴试题谈导数复习

苏艺伟

(福建省龙海第一中学新校区 363100)

一、试题

(2016年全国Ⅱ卷理科第21题)

二、试题评析

本题以函数为背景,融合了函数,导数,不等式,最值问题于一体,重点考查用导数研究函数的单调性,极值,零点,值域等问题,突出对学生的数学运算,数学抽象,逻辑推理等能力的考查.本题分为两小题,在难度上逐次递增,有梯度性;在解题思路上,第(1)问考查函数f(x)的单调性以及不等式的证明,借助导数工具可顺利求解.第(2)问要求的是函数g(x)的最小值h(a)的值域,需借助函数求值域的方法求解,即将h(a)表示成某个变量(这个变量可能是a,也可能是隐零点x0)的一元函数模型.两小题表面上看似无关,其实第(1)问为第(2)问的求解做了铺垫,第(2)问的求解需要借助第(1)问的相关结论,考生要将两问联系起来方能正确求解.

三、试题解析

四、试题变式

(1)求函数f(x)=xlnx+a(a<0)的零点个数.

(2)证明:当a∈[-4e,0)时,函数g(x)=2x2lnx-x2+ax有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.

五、教学启示

第一:加强导数运算,提高数学运算素养.

数学运算是数学的核心素养之一,数学离不开运算.导数问题中,准确求导是解决问题的基础,正确运算是解答问题的关键,所以在复习中一定要牢固掌握基础知识,基本技能,基本方法.因此,在复习导数问题时,让学生真正掌握导数的概念,导数的几何意义,导数的运算法则,熟练运用导数求函数的极值,最值,单调性,零点,切线方程,对这些内容要进行分块讲解,逐一复习,牢固掌握基础知识,才能保证数学运算的准确性.

第二:讲透通性通法,提升逻辑推理素养.

高考对函数和导数的考查侧重于理解和应用,试题有一定的综合性,并与数学思想方法紧密结合,对函数与方程思想,数形结合思想,分类讨论思想都进行深入考查,体现能力立意的命题原则.基于此,在复习中要以典型试题(如全国卷试题)为例,讲透解决某一类题型的通性通法,进而让学生在掌握通性通法的基础上变式运用,从而提升学生的逻辑推理能力,提升数学核心素养.